第2章 行列式及矩阵的秩.pptVIP

第2章 行列式及矩阵的秩 行列式是十分有用的工具，利用它可以进一步研究矩阵及定义许多重要概念. 本章介绍了行列式的概念、性质和计算方法，给出了行列式的一些应用：解线性方程组的克莱姆法则、定义矩阵的秩及求可逆矩阵逆矩阵的公式. 第2章 目录 第 2.1 节 行列式的概念 第 2.2 节 行列式的性质 第 2.3 节 克莱姆法则 第 2.4 节 矩阵的秩 第 2.5 节 数学实验 第2.1节 行列式的概念 本节从二、三阶行列式出发，给出n阶 行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 二元与三元线性方程组解的行列式表示 n阶行列式 1.二阶与三阶行列式 (1)二阶行列式 (2) 3阶行列式 定义 已知3阶方阵 例如：行列式 中元素1,4,6的代数余子式为 例1 计算3阶行列式 解 由定义，有 2.二元、三元线性方程组解的行列式表示 例2 解二元线性方程组 解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式 例3 解线性方程组 解：系数行列式 3. n阶行列式定义 利用递推方法，可以得到n阶行列式的定义. 定义：n阶矩阵 A=(aij)n?n的行列式等于第1行各元素 与其相应的代数余子式乘积之和，即 例4 计算行列式 解 由行列式定义，有 例5 证明n阶行列式(下三角) 证：由定义，有 类似地，可以证明 第2.2节 行列式的性质 1. 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（D=DT） 证：当n=2时，结论显然成立.假设n=k-1时结论成立, 现证n=k时结论成立. 由行列式的递推定义，有 据此知：行列式的“行”成立的性质,对“列”也成立；反之亦然. 例1 计算行列式 性质2 互换行列式的两行(ri?rj)或列(ci?cj)，行列式的值变号 . 推论 若行列式D有两行(列)完全相同,则D=0 . 性质3 行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面.即 性质3的证明 证：若第1行有公因子,利用定义知结论成立.一般地， 若第i行有公因子,互换第1行和第i行，有 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两项之和,则可把该行列式化为两个行列式的和，而这两个行列式这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余位置的元素不变.即 性质5 行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即 性质6 行列式D的值等于它的任一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 这里Aij为元素aij的代数余子式. 证：当i=1时,为行列式的递推定义,结论成立；当i 1 时,将D的第i行依次与它的前i-1行互换,得到行列式D1, 且有 性质7 n阶行列式 证 例2 计算行列式 解 解 例3 计算行列式 解 例4 计算行列式 解 例5 证明 证 例6 计算n阶行列式 例7 计算n阶行列式 解(1) 注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有 解(2) 注意到行列式各行元素之和等于 例8 已知4阶行列式 例9 范得蒙行列式（Vandermonde) 2.拉普拉斯（Laplace）定理 k阶子式 在n阶行列式中，任意选定k行、k列 （1≤k≤n）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k阶行列式N，称为行列式D的一个k阶子式. k阶子式N的余子式及代数余子式 在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行列式M，称为k阶子式N的余子式;而 例11 解 第2.3节 克莱姆法则 下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个 方程的n元线性方程组的问题. 定理（克莱姆法则） 如果n元线性方程组 证 首先证明方程组(1)有解.事实上,将 代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开 下面证明解唯一.设xj=cj(j=1,2,…,n)为方程组 (1) 的任意一个解，则 推论1 如果线性方程组(1)无解或有两个不同解，则D=0；推论2 如果齐次线性方程组 例1 解线性方程组 解 系数行列式 例2 若齐次线性方程组有非零解，求λ值. 解 系数行列式 例3 第2.4节 矩阵的秩 基本概念 矩阵秩的求法 满秩矩阵的求逆公式 1. 基本概念 定义1 矩阵A=(aij)m?n中,任取k行k列(k?min{m,n}),位 于交叉点处的k2个元素按原相应位置构成的 k 阶行列 式，称为矩阵A的k阶子式. 定义2 矩阵A中不为零的子式的最高阶数r称为矩阵 A的秩.记作r(A). 规定:零矩阵的秩为零，即r(0)=0. 因此,对