第2章 连续系统的时域分析.pptVIP

第2章 连续系统的时域分析 2.1 线性连续系统的描述及其响应 2.2 奇异函数 2.3 冲激响应和阶跃响应 2.4 卷积积分  2.1 线性连续系统的描述及其响应 2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程。对于电系统，列写数学模型的基本依据有如下两方面。 1. 元件约束VAR 在电流、电压取关联参考方向条件下： (1)电阻R，uR(t)=R·iR(t)； (2)电感L， (3)电容C， (4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。 2. 结构约束KCL与KVL 下面举例说明。 例2―1 图2.1所示电路，输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方程式。 解 由KVL，列出电压方程 根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而  u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t)) 例2―2图2.2所示电路，试分别列出电流i1(t)、电流i2(t)和电压uO(t)的数学模型。 解 解此联立方程，最后求得 从上面两例可得到两点结论： (1)解得的数学模型，即求得的微分方程的阶数与动态电路的阶数(即独立动态元件的个数)是一致的。 (2)输出响应无论是iL(t)、u1(t)，或是uC(t)、i1(t)，还是其它别的变量，它们的齐次方程都相同。 这表明，同一系统当它的元件参数确定不变时，它的自由频率是唯一的。 2.1.2 微分方程的经典解 我们将上面两个例子推广到一般，如果单输入、单输出线性非时变的激励为f(t)，其全响应为y(t)，则描述线性非时变系统的激励f(t)与响应y(t)之间关系的是n阶常系数线性微分方程，它可写为 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 f (m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t) (2―7) 式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解，用yh(t)表示。非齐次方程的特解用yp(t)表示。即有  y(t)=yh(t)+yp(t) (2―8)  1.齐次解 齐次解满足齐次微分方程  y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 (2―9) 由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为 λn+a n-1λn-1+…+a1λ+a0=0 (2―10) (1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次解 (2) 特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分方程的齐次解 (3)特征根有一对单复根。即λ1,　2=a±jb，则微分方程的齐次解  yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (2―13) (4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的复根，则微分方程的齐次解 例2―3 求微分方程y″(t)+3y′(t)+2 y(t)=f(t)的齐次解。 解 由特征方程λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=-1， λ2=-2。 因此该方程的齐次解  yh