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第2章 非线性方程求解 2.1 化工实际问题的提出 2.2 实根的对分法 2.3 直接迭代法 2.4 松弛迭代法 2.5 牛顿迭代法 2.6 割线法 2.7 非线性方程组的牛顿方法 2.8 应用实例 2.1 化工实际问题的提出 非线性方程问题无论是从理论上还是从计算公式上，都要比线性方程复杂的多。 而对于具体的化工问题，初值和求解范围常常可根据具体的化工知识来决定。常见的雷诺数和摩擦系数关系方程在雷诺数低于4000时有以下关系式： 2.1 化工实际问题的提出 对于方程（2-1）而言，无法用解析的方法求出摩擦系数，只能用数值求解的方法。如用在下面即将介绍的松弛迭代法，假设： 2.1 化工实际问题的提出 2.1 化工实际问题的提出 公式（2-5）是一种常用的饱和蒸气压计算公式： 2.2 实根的对分法 2.2.1 使用对分法的条件 2.2.2 对分法求根算法 2.2.1 使用对分法的条件 2.2.2 对分法求根算法 2.2.2 对分法求根算法 2.2.2 对分法求根算法 实例 例2.1 用对分法求 在区间[1,2]之间的根。 解：(1) f(1)= -2.8，f(2)=0.3，由介值定理可得有根区间[a,b]=[1,2]。 (2) 计算x2=(1+2)/2=1.5，f(1.5)= -0.45，有根区间[a,b]=[1.5,2]。 (3) 计算x3=(1.5+2)/2=1.75，f(1.75)=0.078125，有根区间[a,b]=[1.5,1.75]。 2.2.2 对分法求根算法 实例 一直做到|f(xn)|ε(计算前给定的精度)或|a-b|ε时停止。详细计算结果见表2-1。 2.3 直接迭代法 对给定的方程f(x)=0，将它转换成等价形式： 给定初值x0，由此来构造迭代序列 ， k=1,2,…，如果迭代收敛，即 有 ，则就是方程f(x)=0的根。 在计算中当 小于给定的精度控制量时， 取 为方程的根。 2.3 直接迭代法 对于方程 构造的多种迭代格式 ，怎样判断构造的迭代格式是否收敛？收敛是否与迭代的初值有关？根据数学知识，我们可以直接利用以下收敛条件： （1）? 当 有 （2） 在[a,b]上可导，并且存在正数L1，使任意的 ，有 。 若满足上述收敛条件，则在[a,b]上有唯一的点 满足 ，此时称 为 的不动点。 2.3 直接迭代法 迭代格式 对任意初值 ，均收敛于 的不动点 ，并有下面误差估计式： 2.3 直接迭代法 实例 例2.2 求代数方程x3-2x-5=0，在x0=2附近的零点。 解： （1）x3=2x+5 2.3 直接迭代法 实例 2.4 松弛迭代法 通过选择合适的松弛因子,就可以使迭代过程收敛。松弛法的迭代公式如下： 2.4 松弛迭代法 实例 例2.3 用松弛迭代法求解下面非线性方程组，并分析松弛因子对迭代次数及收敛过程的影响。已知迭代初值x和y均为0，收敛精度ε=0.001 。 2.4 松弛迭代法 实例 若取松弛因子为1.1，则其迭代过程如表2-2。 2.5 牛顿迭代法 2.5.1 牛顿法的理论推导 2.5.2牛顿法的几何意义 2.5.1 牛顿法的理论推导 牛顿迭代法是借助于对函数f(x)=0的泰勒展开而得到的一种迭代格式。 将f(x)=0在初始值x0做泰勒展开得： 2.5.1 牛顿法的理论推导 类似地，再将f(x)=0在x1作泰勒展开并取其线性部分得到： 2.5.2 牛顿法的几何意义 以 为斜率作过(x0，f(x0))点的直线，即作f(x)在x0的切线方程： 令y=0，则在x1处的切线与x轴的交点x1，即： 2.5.2 牛顿法的几何意义 实例 例2-4用牛顿迭代法求方程 f(x)=x3-7.7x2+19.2x-15.3，在x0=1附近的零点。 解： 2.6 割线法 2.6 割线法 实