第3章线性方程组的迭代.pptVIP

第3章 线性方程组的迭代求解法 3.1 问题的提出 3.2 简单迭代 3.3 紧凑迭代 3.4 松弛迭代 3.5 高斯消去法 3.6 三角分解法 3.7 带状方程组的三角分解法 3.1 问题的提出 化工设计和计算中常常要用到线性方程组。 在精馏塔计算中，根据物料平衡、能量平衡、相平衡等建立了MESH方程后，首先要解决的是根据ME方程，计算出各塔板上的各组分的浓度。根据建立的ME方程，经过处理，我们可以得到以下线性方程组： Bi,1 xi,1+ Ci,1 xi,2=D1 Ai,2 xi,1+Bi,2 xi,2+C2 xi,3=D2 Ai,3 xi,2+Bi,3xi3+Ci,3xi,4 =D3 Ai,jxi,j-1+Bi,jxij+Ci,jxi,j+1 =Dj Ai,N-1 xi,N-2 + Bi,N-1 xi,N-1 + Ci,N-1 xi,N = DN-1 AiN xi,N-1 + Bi,N xiN = DN 3.1 问题的提出 对方程组 AX=t 进行等价变换，构造同解方程组X = MX+y，以此构造迭代关系式：任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列X (1) X(2) ,……。 若迭代序列{X(k+1)}收敛，设{X(k)}的极限为X*, 对迭代两边取极限即X*=MX*+y ，X*是方程组AX=t的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。 线性方程组迭代收敛的充分必要条件是迭代谱半径： 3.2 简单迭代 3.2.1 简单迭代公式 3.2.2 简单迭代计算机算法 3.2.3 程序实例 3.2.1 简单迭代公式 设有N元线性方程组: 写成矩阵形式为AX=t。 得到下面同解方程组： 3.2.1 简单迭代公式 记 ，构造迭代公式： 收敛的充分必要条件:迭代矩阵B 的谱半径 迭代矩阵的某范数 时，迭代收敛。 范数小于1只是判断迭代矩阵收敛的充分条件. 3.2.1 简单迭代公式 当方程组的系数矩阵具有某些性质时，可直接判定由它生成的简单迭代矩阵是收敛的。其条件如下： （1）为行对角优阵，即 ， 。 （2）为列对角优阵，即 , 。 以上两个条件只要满足一个，简单迭代过程就收敛。 3.2.2 简单迭代计算机算法 为了简单起见，在算法中假定矩阵满足简单迭代要求，即 ， ，设系数矩阵满足迭代收敛条件： 1、进行变量定义工作，一般需要系数矩阵变量a( )、迭代计算变量x1 ( )、初值变量x0 ( )、方程数n、收敛精度及其它一些可能要用到的中间变量。 2、利用循环语句和Inputbox( )语句输入方程数、系数矩阵与常数项向量的元素及收敛精度要求。精度要求也可直接在程序中体现而不进行输入。 3.2.2 简单迭代计算机算法 3、根据公式（3-2）计算bij和yi，并置 4、利用DO…Loop Until 语句进行迭代循环计算及偏差计算，当偏差符合要求时，停止计算，若偏差不符合要求则将向量X0和X1互换，继续进行迭代循环计算。 5、输出方程组的解， 。 3.2.2 简单迭代计算机算法 实例 例 3.1：用简单迭代格式解下列方程组： 解：方程的迭代格式： 3.2.2 简单迭代计算机算法 实例 取初始值 ，计算结果由表3-1所示。 3.2.3 程序实例 （1）求解方程组 ? 启动VB程序依次输入2，2，1，5，3，7，10，就可以得到方程的解。 方程的解为： 3.2.3 程序实例 （2）求解方程组 启动上面的VB程序依次输入3，5，1，3，5，2，7，-1，10，1，3，10，9，就可以得到方程的解。 方程的解为： 3.3 紧凑迭代 3.3.1 紧凑迭代公式 3.3.2 紧凑迭代计算机算法 3.3.1 紧凑迭代公式 在简单迭代中，我们用 的值代入方程(3-2)中计算出 的值，计算公式是： 已算出的分量直接代入迭代式中，及时使用必威体育精装版计算出的分量值。因此 的计算 公式可改为： 3.3.1 紧凑迭代公式 构造 方程组的紧凑迭代格式的步