第5章离散信号与系统的时域分析.pptVIP

且系统初始条件为 yx(k)表示为 代入初始条件，有 解得 现在，令ε→0取极限，使得H(E)的两个极点相重合，于是有 或写成 式中： 同样道理，如果传输算子H(E)仅含有r的d重极点，这时系统的齐次差分方程为 相应的零输入响应可表示为 式中，常数c0, c1, …, cd-1由系统零输入响应的初始条件确定。 因此 5.4.2 一般系统的零输入响应 设n阶离散时间系统的齐次差分方程为 其传输算子H(E)含有g个相异极点r1, r2, …, rg，对应的重数分别是d1, d2, …, dg。 这里， (d1+d2+…+dg)=n。显然，若di(i=1, 2, …, g)为 1 时， 表示相应的极点ri是单极点。此时式可表示为 n阶LTI离散系统的零输入响应为 式中： 式中，各待定系数由系统零输入响应yx(k)的初始条件确定。 综上所述，由LTI离散系统传输算子H(E)求零输入响应yx(k)的具体步骤可归纳如下： 第一步，求解方程A(E)=0，得到H(E)的相异极点r1, r2，…, rg及相应的重数d1, d2, …, dg。将系统齐次差分方程表示为 第二步，求解方程 得到各极点相应输入响应分量 第三步，写出系统的零输入响应 第四步，由零输入响应初始条件确定式（5.4-22）中的各个待定系数cij，并最后求出系统的零输入响应yx(k)。 （5.4-22） 例 5.4-1 已知离散时间系统传输算子 及初始条件yx(0)=12，yx(1)=4.9， yx(2)=2.47，yx(3) =1.371。 求该系统的零输入响应。 解 因为传输算子H(E)极点为r1=0.2，r2=0.3，r3=0.5(二重极点)。所以，可得 上式中令k=0, 1, 2, 3, 代入初始条件后得到 联立上述方程，求解得c10=5, c20=3, c30=4, c31=2。于是，系统的 零输入响应为 与连续系统中的H(p)一样，H(E)中若有复极点，则必定共轭成对。若设H(E)的共轭复极点为 式中： 例 5.4-2 设描述离散时间系统的差分方程 为 系统初始条件为yx(0)=2, yx(1)=3。试求k≥0时系统的零输入响应。 解 写出系统传输算子 其极点是一对共轭复极点： 由式(5.4-22)或式(5.4-23)， 得 利用初始条件，得到 即c1=2,c6=6 于是得出系统的零输入响应 5.5 离散系统的零状态响应 设系统的初始观察时间为k0，所谓离散时间系统的零状态响应，是指该系统在k0时刻 的状态或者历史输入为零时，仅由k≥k0时加入的输入所引起的响应，通常记为yf(k)。 在连续系统的时域法分析中，我们根据信号的分解特性和LTI系统的线性时不变特性， 导出了系统零状态响应的计算公式。具体做法包括： (1) 将一般信号分解为众多基本信号单元的线性组合； (2) 求出基本信号激励下系统的零状态响应； (3) 导出一般信号激励下系统零状态响应的计算公式。 5.5.1 离散信号的时域分解 根据单位脉冲序列定义和序列位移的概念， 我们有 于是可得 因此，对于任意序列f(k)，可写成 即 (5.5-1) 图 5.5-1 离散信号的时域分解 可以将图 5.5-1 所示的序列分解表示为 显然，式(5.5-1)是与连续时间信号f(t)的时域分解公式: 相对应的。在连续系统时域分析中，我们还给出了另一个分解公式 容易得到相应的分解公式为 5.5.2 基本信号δ(k)激励下的零状态响应 设系统初始观察时刻k0=0，则离散系统对于单位脉冲序列δ(k)的零状态响应称为系统的 单位脉冲响应，或简称为单位响应， 记作h(k)。  LTI离散系统的单位响应可由系统的传输算子H(E)求出。 例 5.5-1 单极点情况。若系统传输算子 具有单极点E=r，则相应的差分方程为 令f(k)=δ(k)时，其yf(k)=h(k)， 故有 即 移项后有 根据系统的因果性，当k≤-1时，有h(k)=0。以此为初始条件， 对式(5.5-6)进 行递推运算得出 再计算y(k)*x(k)，同样考虑到x(k)是因果序列，可得 求解过程中对k没有限制，故上式可写为 x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 -∞＜k＜∞ 可见，x(k)*y(k)运算满足交换律。 所以 例 5.2-4 已知序列f1(k)=2-(k+1) ε(k+1)和f2(k)=ε(k-2)，