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第7章 方差分析 Analysis of Variance （ANOVA） Section 7.1Principle of ANOVA方差分析的基本原理 什么是方差分析 ANOVA 由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher以F命名，故方差分析又称 F 检验 （F test）。用于推断多个总体均数有无差异 什么是方差分析(一个例子) 某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。 四种饲料对鱼的增重效果是否相同 什么是方差分析(例子分析) 一个因素(factor)：饲料 四个水平(level)：A1、A2、A3、A4 每一个水平重复试验四次 设?1为饲料A1的平均增重，?2为饲料A2的平均增重，?3为饲料A3的平均增重，设?4为饲料A4的平均增重，检验四种饲料对鱼的增重效果是否相同，也就是检验下面的假设 H0: ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 HA: ?1 , ?2 , ?3 , ?4不全相等 检验上述假设所采用的方法就是方差分析 方差分析的基本思想 将所有测量值间的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。 离均差平方和的分解 离均差平方和的分解(例子分析) 共有三种不同的变异 总变异（Total variation）：全部测量值 与总均数 间的差异 组间变异（ between group variation ）：各组的均数 与总均数 间的差异 组内变异（within group variation )：每组的每个测量值 与该组均数 的差异 用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)反映变异的大小 总变异:所有测量值之间总的变异程度 计算公式 矫正系数 组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和 计算公式 组内变异 在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异，也称SSe。 用各组内各测量值 与其所在组的均数差值的平方和来表示，反映随机误差的影响。 计算公式 三种“变异”之间的关系 平方和分解 自由度分解 导致组内数据不一致的原因 随机误差 导致组间数据不一致的原因 处理因素 随机误差 平方和、自由度计算实例 矫正系数 总平方和 平方和、自由度计算实例(续1) 处理间平方和 处理内平方和 平方和、自由度计算实例(续2) 总变异自由度 处理间变异自由度 处理内变异自由度 均方差,均方(mean square,MS) 变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方(mean square，MS)。 组间均方和组内均方的计算公式为: F 值与F分布 如果各组样本的总体均数相等（ ），即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。 组间均方与组内均方的比值称为F统计量 F值接近于l，就没有理由拒绝H0；反之，F值越大，拒绝H0的理由越充分。数理统计的理论证明，当H0成立时，F统计量服从F分布。 单侧临界值 在第1自由度为 、第2自由度为 的F分布曲线图下， 右方的面积为 a ,则称 为第1自由度为 、第2自由度为 的F分布概率为 a 的单侧临界值。可查表。 均方差、F值计算实例 平均值之间的多重比较 多重比较方法 统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiple comparisons) 多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法(LSR法) 最小显著差数法(LSD法，least significant difference) 计算显著水平为α的最小显著差数 ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值 与其比较 若 ，则 与 在α水平上差异显著 若 ，则 与 在α水平上差异不显著 计算： LSD计算实例 Section 7.2ANOVA for Completely Randomized Design完全随机试验资料的方差分析 一个例子 以A、B、C、D4中药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理