第8章 系统的状态空间分析.pptVIP

(2) 计算输出响应y(t)。 零输入分量 零状态分量 所以，系统的输出响应为 8.3.3 状态空间方程的S域解法 先考察一个单输入单输出一阶系统，其状态空间方程可表示为 式中，f(t)、y(t)、x(t)均是标量。若记F（s）=L[f(t)],Y(s)=L[y(t)] X(s)=L[x(t)],则对式（8.3-32）方程两边分别取拉普拉斯变换， 即 式中， 上述求解过程同样适用于一般的多输入多输出n阶系统。对标准状态空间方程(8.3-1)取拉普拉斯变换，得 式中，X(s)表示状态矢量x(t)的拉普拉斯变换， 即 例 8.3-4 已知系统的状态空间方程为 系统输入为单位阶跃函数，初始状态x(0-)=[1 2]T。试求 （1）状态转移矩阵 和冲激响应矩阵h(t)； （2）系统状态矢量x(t); (3) 系统输出y(t) 解 (1) 计算φ(t), h(t)。 先求预解矩阵。 因为 其行列式和伴随矩陈为 所以 取 的拉普拉斯反变换，得状态转移矩陈为 系统函数矩阵 取其拉普拉斯反变换,得冲激响应矩阵为 (2) 计算状态矢量x(t)。 状态矢量的零输入分量 状态矢量的零状态分量 于是系统的状态矢量为 (3) 计算输出y(t)。 输出的零输入分量 输出的零状态分量 因此,系统输出,即完全响应为 将连续时间LTI系统状态空间分析的一般步骤归纳如下： 第一步， 确定系统状态变量。一般地说，可以选取系统中表征记忆元件能量状况的物理量作为状态变量。通常，对于用信号流图(或框图)表示的模拟系统，选取一阶系统(包括积分器)输出变量为状态变量；对于LTI电系统，选取独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。 第二步， 用直接法或间接法列出系统的状态空间方程。 图 8.2-10 并联方式模拟 8.3 连续系统状态空间方程的求解 线性时不变连续时间系统的状态空间方程为 对于具有p个输入、q个输出的n阶系统，上式中x(t)、f(t)和y(t)分别是n维状态矢量、p维输入矢量和q维输出矢量，矩阵A、 B、 C、 D都是常数矩阵。 8.3.1 状态空间方程的时域解法 设标量状态方程为 将上式两边同乘以e-at，移项后得 即 上式等号两边取0-到t的积分，得 若标量函数f(x)可以展开为如下收敛的幂级数： 两边同乘以eat，并整理得 则定义函数 例如，指数函数ext的收敛幂级数为 因此， 可定义相应的矩阵指数函数为 例 8.3-1 已知方阵 求其矩阵指数函数eAt 解 可见，一个n阶方阵A，其矩阵指数函数eAt仍是n阶方阵。 可以证明，矩阵指数函数eAt有以下重要结论： (1) 对于任何方阵A， eAt恒有逆，且为 (2) 对于n阶方阵A和B，若AB=BA，则有 (3) 对于方阵A，有 (4) 若A为n阶方阵 x为n维列矢量函数，P为非奇异矩阵，则有 现在我们来求矢量状态方程的时间域解。设系统初始状态矢量为 上式可写成 经移项后得 将上式两边取t0到t的积分，得出 上式两边左乘以eAt ，整理后得 若初始观察时刻t0=0-,并令 则可写成 这就是矢量状态方程的时域解。式中等号右边第一项是状态矢量解的零输入分量， 记为 显然，若x为n维列矢量，则φ (t)为n阶方阵。上式表明，系统在零输入情况下，φ (t)的作用是使系统由初始时刻的状态转移至t时刻的状态。因此，称φ (t)或eAt为连续时间系统的状态转移矩阵。 式(8.3 - 15)中第二项是状态矢量解的零状态分量， 记为 一般情况下，两个矩阵函数的卷积可以用矩阵相乘的运算规则来定义，只是将其中的乘法运算符换成卷积运算符即可。例如: 于是，矢量状态方程的时域解可写成 若系统输入个数为p, 我们定义p×p阶对角矩阵 考虑到 的抽样性质，显然有 于是，系统输出（响应）可改写成 式中，第一项是系统的零输入响应，第二项是零状态响应， 分别记为 和 式中 称为连续时间系统的单位冲激响应矩阵，简称冲激响应矩阵。 若系统的输入、输出数目分别为p和q，则h(t)是q×p阶矩阵， 它的第i行第j列元素hij(t)代表第j个输入为δ(t)，而其他输入均为零时第i个输出的零状态响应。可以看出，这与单输入单输出系统的单位冲激响应定义是一致的。 利用冲激响应矩阵， 系统输出可表示为 8.3.2 eAt的计算 (1) 幂级数法。按照eAt定义，用计算机求出它的近似值。 (2) 将矩阵A变换成相似的对角矩阵Λ，即 (3) 应用凯莱-哈密顿(Caley-Ham