第8章从傅里叶变换到小波变换.pptVIP

本章要点 8.1 引言 8.2 时域分析与窗口傅里叶变换 8.3 小波变换 8.4 多分辨分析 8.5 小波变换的应用及其举例 8.1 引言 信号的时、频域分析 信号时域分析和频域分析的重要性： 时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。 信号的时域和频域之间具有紧密的联系。 信号时域分析和频域分析的主要方法： 傅立叶变换： 问题提出 例1：信号 其时域波形和频谱如图 从时域看， 和 是两个不同的时间过程； 从频域上看，这两个信号的频谱的确相同。 显然，两个不同的时间过程对应着完全相同的频谱，但是我们却无法用傅里叶变换将它们区别开来！ 结论：傅里叶变换不具有那种将这两个具有不同时间过程的信号在频域区别开来的能力！ 例2：从歌声中恢复乐谱 或从从乐谱中恢复歌声 怎么办？ 为什么？ 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。 这表明Fourier 变换不能同时进行时间—频率局域性分析。 先详细地的分析一下原因，然后再提出解决办法 为了讨论方便，将傅里叶变换对重写如下： (8－1) (8－2) 式中 称为积分变换的核（简称积分核） 分析1 ： 从式（8－1）,傅里叶中采用的基函数（积分核）属正交函数族或正交基，所以傅里叶变换是一种正交变换。 由于傅里叶变换的积分核 的幅值在任何情况下均为1，即 ，且在时域的支撑区为 ；上的贡献决定的，不能反映 在局部区域上的特征；即式（8－1）不能用于时域信号 的局部分析。 但由于 在频域连续变化，故其具有无限精细的“频谱分辨率”。 分析2： 从式(8－2),傅里叶反变换的积分核 的幅值在任何情况下均为1，即 ，且在频域的支撑区为 ，而 的 傅里叶反变换为 ，因此，信号 的任意时间点值是由频谱 在整个频率域 上的贡献决定的，不能反映 在局部区域上的特征；即式(8－2)不能用于频率域上 的局部分析，但是在时域具有无限精细的“时间分辨率”。 分析3： 从上述得知，由于傅里叶变换对关系式中的积分核 在时域和频域都无始无终，存在于整个时间轴和频率轴上，即 积分核在时域和频域的支撑区 均为 ， 所以时间过程和频率过程彼此是整体刻画的，不能反映各自在局部区域上的特征。这就从理论上决定了（8－1）、(8－2)定义的傅里叶变换不能用于局部分析。。 分析4： 式（8－1）的积分核 的傅里叶变换为 这表明式（8－1）定义的傅里叶变换具有无限精细的 “频谱分辨力”；同理式（8－2）中的积分核 的傅 里叶变换为 即式（8－2）定义的傅里叶反变换具有无限精细的“时间分辨力”。 8.2 时频分析与窗口傅里叶变换 8.2.1 窗口傅里叶变换的引入 由于Fourier变换是频域分析的基本工具，因此，最方便也是最容易想到的方法就是在Fourier分析中的基函数之前乘上一个时间上有限的时限函数g(t)，即用 作为积分核，这样 起频限的作用g(t)起时限的作用，合在一起就可以起到时频双限制的作用，这时的变换公式为： （8－3） 显然， 提供了f(t)在g(t)所限定的局部时间区域内波形的频域信息。 g(t)往往被称之为窗口函数，则相应的傅里叶变换称为窗口傅里叶变换。其变换公式为：