第一节 映射与函数.pptVIP

类似地可说明： [ a , b)= {x| a x b }, ( a , b ] = {x|ax b}. [ a , b) 和 ( a , b] 都称为半开区间. 或 f (X ) , 即 = f (X) = { f (x) | x X }. 例1 设 f : R R ,对每个x R , f ( x ) = ．显然，f 是一个映射， f 的定义域 =R，值域 = { y| y 0}它是 R 的一个真子集． 对于 中的元素 y ，除 y=0 外，它的原像不是唯一的，如 y = 4 的原 像 就 有x=2 和 x= －2 两个． 例2 设 X ={(x , y)| + =1 }， Y= {( x , 0)| |x| 1 }， f : X Y， 对每个( x , y ) X，有唯一确定的(x , 0 ) Y 与之对应．显然 f 是一个映 射，f 的定义域 = X ，值域 =Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到 x 轴的区间 [–1 , 1] 上． 例3 设f : [– , ] [–1, 1] ，对每个x [– , ]， f (x)=sin x ．这 f 是一个映射，其定义域 =[– , ]，值域 =[–1,1]． 设f是从集合X到集合Y的映射，若 =Y，即Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像，则称 f为 X 到 Y 上的映射或满射；若对 X 中任意两个不同元 ，它们的像 ，则称 f 为 X 到 Y 的单射；若 f 映射既是单射，又是满射，则称 f 为一一映射(或双射). 例9 研究y=x与 是不是相同的函数关系. y=x与 都是定义在 上的函数关系, 但是对应规则不同： 对于y=x, 当x0 时, y0， x0 时，y0 ； 对于 ，总有y0 ； 因此是两个不同的函数. 即 须使 2、函数的几种特性 (1)函数有界性：设函数f(x)的定义域为D，数集X D. 如果存在数 ，使得 f(x) 对任一 都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而 称为函数f(x)在X上的一个上界.如果存在数 使得 对任一 都成立，则称函数f ( x)在X上有下界， 而 称为函数f ( x)在X上的一个下界.如果存在数 M ，使得 对任一 都成立，则称函数f (x)在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f (x)在X上无界。 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. (2)函数的单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间 I D .如果对于区间I上任意两点 及 ,当 时，恒有 则称函数f(x)在区间I上单调增加的；如果对于区间I上 任意两点 及 ，当 时，恒有 单调增加 单调增加函数的图形是沿x轴正向逐渐上升的． 单调减少 单调减少函数 的图形是沿x轴正向 逐渐下降的． (3)函数的奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点对称．如果对于任一x D, f(-x)=f(x) 恒成立，则称f(x)为偶函数．如果对于任一x D。 f(-x)=-f(x) 恒成立，则称f(x)为奇函数． 　　偶函数的图形关于y轴是对称的.因为若f(x)是偶函数，则f(－x)=f( x)，所以如果A( x ,f (x) ) 是图形上的点，则与它关于y轴对称的点 也在图形上. 偶函数 奇函数的图形关于原点是对称的.因为若f(x)是奇函数，则f(－x)=－f( x)，所以如果A( x ,f (x) )是图形上的点，则与它关于原点对称的点 也在图形上. (4)函数的周期性： 设函数f (x)的定义域为D.如果存在一个正数 l，使得对于任一 x D 有 ，且 f (x + l)=f (x) 恒成立，则称f (x)为周期函数，l 称为f (x)的周期，通常我们说