第三章 应变分析.pptVIP

4、讨论： （i）由应变特征方程可求得ε的三个实根：ε1ε2ε3 （ii）由主应变方程组可求出对应ε1、ε2、ε3的方向余弦: ε1: l1 , m1 , n1 ε2: l2 , m2 , n2 ε3: l3 , m3 , n3 （iii）在主应变状态下，应变特征方程为： 其中 分别为第一、第二、第三 应变不变量 3-7 位移边界条件 1、提出：弹塑性力学的解要满足给定的边界条件。一般地，受力物体的边界分为两大部分，一部分是已知边界上的受力情况（包括不受外力的自由边界），一部分是给定边界上的位移和约束情况（如沉降，固定等），分别被称为外力边界和位移边界。 外力边界条件：给出边界上外力与应力的关系： 位移边界条件：给定边界上位移值： 1、例题： （2） （1）AB边界：限定位移为零： 弹性层： 弹性半空间： AB边位移边界条件： 3-8 体积应变 提出：组成物体的每个微元体不但形状发生了改变，而且它的体积也将发生改变，所以也要研究任一点附近的单位体积的变化。 1、分析： 1°取单元体dxdydz. 变形前：dv=dxdydz 变形后：受力产生变形，是两种情况的叠加： 纯剪切：只引起单元体的形状改变，不引起体积变化（由于剪切变形引起体积的改变是高阶微量，可以略去） 拉(压)变形：引起体积的改变。 2°只考虑由拉(压)变形引起的 单元体体积改变： 边长变化： 变形后体积： 3°体积应变定义： （3-30） 显然，第一应变不变量J1具有明显的几何意义：J1 就是体积应变。 4°考虑位移场 的散度： 即体积应变θ为位移场的散度。 2、应变张量的分解： i当θ=0时，称为物体是不可压缩的，因此不可压缩的条件为： 或 （3-31） （3-32） 其中 1°εm=1/3(εx+εy+εz)为平均正应变分量。 ii应变张量分解： （3-33） 2°记 为应变张量 为偏斜应变张量，又称应变偏量 为球形应变张量 则有： （3-34） 3°偏斜应变张量Ds的体积应变： （3-35） 在偏斜应变状态下的体积应变为零，这在塑性力学中是很重要的一个结论。 4°球形应变张量Dm的体积改变： （3-36） 3、偏斜应变张量的不变量：（与应力偏量的不变量类比） 显然，球形应变状态只改变其体积而不改变其形状。 （3-37） （3-38） 若x,y,z取为主应变方向，即主应变状态下偏斜应变张量的不变量为： （3-39） （3-40） 3-9、圆柱坐标系中的几何方程和体积应变 考察圆柱坐标系中一微元体的变形：取线素PQ， 分析PQ变形前后坐标的变化： 其中 按级数展开并略去高阶微量有： 考虑dsˊ在r方向上的投影 变形前 变形后 dsˊ在θ方向上的投影: dsˊ在z方向上的投影: 讨论: 1°若线素是自P点沿r方向选取的，则 根据定义,P点在r方向上的线应变 线素dr向θ和z方向转过的角度分别为: (3-41) 2°若线素是自P点沿?方向选取的， 　则 有 即有 根据定义,P点在θ方向上的线应变 (3-42) 线素 向 z 和 r 方向转过的角度分别为: 3°如果线素是自P点沿z方向选取的, 则 ds=dz，dr=dθ=0，有： 根据定义,P点在z方向上的线应变 线素dz向r和θ方向转过的角度分别为: (3-43) 于是得到圆柱坐标系中的几何方程为: 体积应变 (3-44) (3-45) (3-44) *附:球坐标系中的几何方程和体积应变(球坐标系r,θ,φ) 体积应变 3-10、应变率的概念： 1、物体内各点的速度：对于物体内任一点P(x,y,z)，t时刻 速度分量为: 位移分量为 2、应变对时间的变化率—应变率 考察 故有 应变率张量： 3、一些固体材料在受温度不高和缓慢塑性变形时，其力学性质实际上与应变率关系不大，一般考虑的不是应变率，而是应变增量 。记为 （注意 不是应变分量对坐标的微分）。 3-11、变形协调方程： 1、问题的提出： 1°根据连续性假定，受力物体在变形前后都是连续的。 2°由几何方程εij=1/2(uj,i+ui,j)可知，给定位移函数ui可唯一地确定应变分量εij 3°由于εij=1/2(uj,i+ui,j)是导出关系，数学上它们之间并不是相互独立的，而存在着一定的相互制约关系。 4°物理上，相互独立的应变分量不能保证物体的连续性，物体内在变形时会出现分裂和重叠