第二章：解析函数基础.pptVIP

此式左、右两端是同一复数，它们的模应相等： 或即 ；它们的辐角可相差 的一整数倍： 亦即 这样，我们有重要的公式： （2.27） 此式很清楚的表明 的多值性是由 的多值性而来. （2.27）本身也看作 的定义. 由于 （两端都在多值意义下 ，所以对复变元对数而言，在两端多值意义仍有 同样，也有 由于 的多值性源于 的多值性，所以和 一样， 定义域 内是不能分解成单值连续函数的.只有缩小区域，让区域内任一简单闭曲线L，都有对数函数改变量 ，才能在这个区域内将 分解成单值连续函数.由于 是单值的，所以 从而， 的必要充分条件是 .这样， 和 的可单值分枝的区域是相同的，枝点亦是相同的，即0和 点是 的枝点. 把 平面沿连接0与 的任一简单曲线剖开所得区域都是 的可单值分枝区域.比如，把平面沿正实轴（包括原点）剖开得到区域D，对剖线上岸的 记为 上处取 上=0（于是下岸的 下处 下= ），这样也就得 的一个单值连续分枝 .从而，也就得出 的一个单值连续分枝，如记为 ，则有 这时， 上 下 . 由于在 内 可分为无穷多个单值连续分枝： 所以，在 内 也可分为无穷多个单值连续分枝： 任取 内 的一个分枝 及 ，由 的连续性，当 时有 .又由 的单值性知 时有 ，从而 即 的任一单值分枝都在 内解析且其导数都相同.因此，我们把 称为 的解析分枝. 注意，正如 一样，不论 是 的怎样的单值分枝，一般不能有 等式子，这点一定要特别小心. 由于 的终值 是依赖于初值的，而 却与初值无关.所以，计算 要比计算简单的多.因此，我们对解析分枝 的表达式作如下的变动，将会给计算到来一些方便. 设 是 的一个单值分枝区域， 在 取定的初值为 ， 为 内的任一点， 为以 为起点、 为终点的简单曲线，且 ，则 在 内的解析分枝为 （2.28） 例2.1 在复平面上去正实轴（包括原点）作剖 试在所得的区域 内取定 在正实轴上岸的点 取 的一个解析分枝，并求这一分枝在 处的 及正实轴下岸的点 处的值（图2-2）. 解 因 ，从而 ，故所取定的解析分 枝为