第五章 差错控制与信道编码.pptVIP

5.3.4 循环码 2．生成多项式和生成矩阵 ——(n，k)循环码中的r=n-k次码多项式，其次数最低（0元除外）； ——其它所有的码多项式都能被g(x)整除； ——并且g(x)是xn+1的一个因式 。 生成多项式 g(x) ——例如本节前面给出的(7，3)循环码，其生成多项式为： 5.3.4 循环码 ——若g(x)含有(x+1)因式，对应的(n，k)系统循环码， 能够检出所有奇数个错误； (n，k)系统循环码检错能力与g(x)的关系 ——若g(x)含有常数项1因式，且不能整除xe+1， 则对应的(n，k)系统循环码，能够检出所有的两位错误； ——若g(x)含有常数项1因式，对应的(n，k)系统循环码， 能够检出所有突发长度r的突发错误， 并且对突发长度等于r+1的突发错误的漏检率为2-(r-1)， 对突发长度大于r+1的突发错误的漏检率为2-r。 5.3 线性分组码 本节内容提要： ——本节将对线性分组码的特点、编译码规则以及应用情况作介绍，主要包括以下四方面内容。 5.3.1 基本概念 5.3.2 线性分组码编码 5.3.3 汉明码 5.3.4 循环码 5.3.1 基本概念 1．有限域 ——定义了加法“+”和乘法“·”两种运算的有限集合； ——q个元素的有限域又称为伽罗瓦域，记作GF(q)； ——对域的逆元操作又演绎出了减法“－”和除法运算“÷”， 域具有封闭特性 域中总包含惟一的加法恒等元“0”和乘法恒等元“1” 5.3.1 基本概念 域中任意元素存在惟一的加法逆元 域中任意非零元都存在惟一的乘法逆元 于是减法和除法运算可定义为： 域中元素满足交换律、结合律和分配律运算规则： 5.3.1 基本概念 GF(q)中定义的是模q的加法和乘法，例如GF(2)的运算表如表所示： 0 1 1 1 0 0 1 0 + 1 0 1 0 0 0 1 0 · 加法运算表 乘法运算表 5.3.1 基本概念 2．矢量空间 —— 所有n维矢量组成的集合就构成了n维矢量空间Vn； ——矢量对矢量的加法构成一个加法交换群， 即满足封闭性、结合律和交换律，有恒等元和逆元。 —— 满足分配律 ——满足结合律 ——对于相乘恒等元 有 矢量空间的性质 ——8PSK调制时给出的信号点矢量图， 就是定义在GF(2)上的3维矢量空间V3 V3={000，001，010，011，100，101，110，111} 5.3.1 基本概念 集合S中存在全零矢量（0,0,…,0），即零元； 集合S中任何两个矢量和仍在该集合中，即满足封闭性。 子空间 ——如果n维矢量空间Vn的一个子集S，满足以下条件，则称其为Vn的一个子空间： 矢量与码字的关系 —— 一个码长为n的码字可以看成是一个有n个元素的矢量； —— 所有2n个n长码字就构成了定义在GF(2)(两个元素：0、1的伽罗瓦域)上的n维矢量空间Vn ； ——对于一个(n，k)线性分组码，其编码过程是从GF(2)上的n维矢 量空间Vn中，寻找其中遵循某种编码规则的一个子空间，而这 个子空间中的所有码字正好构成了一个加法交换群，所以线性 分组码又称为群码 。 5.3.1 基本概念 3．线性分组码性质 封闭性 具有零元 ——即具有全零码，记作A0 。 具有负元 ——若Ai+ Aj =A0则称其互为负元，（n , k）中Ai是它本身的负元。 满足结合率和交换率 5.3.2 线性分组码编码 1．生成距阵 矢量的线性无关 ——若Vn中k个矢量A1,A2,…,Ak，当且仅当 ，i=1,2,…,k时下式成立 空间的基 ——在任意一个矢量空间或者子空间中，至少存在一组线性无关的矢量，可以张成这个空间, 这一组矢量称为该空间的基，基中矢量的数目称为空间的维数。 5.3.2 线性分组码编码 实例分析 ——v1=(1000)，v2=(0100)，v3=(0010)，v4=(0001) 线性无关的，作为基，张成一个4维矢量空间V4： 5.3.2 线性分组码编码 生成矩阵 ——矩阵G的每行矢量是基中的矢量，故称之为生成矩阵； ——由其可以得到矢量空间中的全部矢量； ——上例中选取的基得到的生成矩阵恰好是4阶单位矩阵，实际上线性无关的行矢量都可以作为生成矩阵的行矢量 。 2．编码原理 线性分组码标记 ——（n，k）线性分组码，其码字通常记作： A=[a