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簡單邏輯 敘述（statement） 真（true） 假（false） (a)?? 2是一個質數。 (b)?? 吃飽沒？ (c)?? 他長得瘦。 (d)?? 外星人來過台灣。 命 題 敘述(a)是一個命題，因為它是真的。 敘述(b)是一個問句，沒什麼固定的真假值，因此不是一個命題。 在敘述(c)裡的”他”是一個變數，必須等到我們指明”他”是誰才可以知道這個敘述是真或假。(c)因此不是一個命題。 敘述(d)是一個命題，因為它一定是真的或假的；儘管我們現在還不確定。 證 明 方 法 證 明 方 法 歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 證 明 方 法 歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 歸 納 法 歸 納 法 歸 納 法 歸 納 法 證明對於任何一個正整數 n，2nn。 顯然當 n=1 的時候 P(1) 成立，因為 211。 假設當 n=k 時 P(k) 成立，即 2kk。我們要證明當 n=k+1 時 P(k+1) 成立，即 2(k+1)(k+1)。 但是 歸 納 法 即，2k+1k+1。 因此，得證。 證 明 方 法 歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 證明如果一個整數可以被 6 除盡，那它一定也可以被 3 除盡。 x=k?6 （根據除盡的定義） 6=2?3 （已知的事實） x=k?(2?3) （以2?3取代6） x=(k?2)?3 （根據除盡的定義） k?2是一個整數 （以之關於整數的事實） 因此，x可以被3除盡 （除盡的定義） 證 明 方 法 歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 直接證明 找出反例證明一個論述是錯的 「對所有的正整數 n，n2-n+41是一個質數」這個命題是否正確？ 事實上，當 n=41 的時候，412-41+41=412，顯然不是一個質數。因此，這一個反例就足以證明上面的命題是錯的。 證 明 方 法 歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 間 接 證 明 證明一個論述的對換句是真實的 A?B = ~B?~A 證明如果一個整數 m 的平方是偶數，則整數 m 必然是偶數。 如果 m 是奇數，則 m=2k+1，其中k是某一個整數。 因此，。顯然地，m2是一個奇數。因此，得證。 證 明 方 法 歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 間 接 證 明 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 反證法 證明是 無理數 要用反證法來證明這個命題，我們先假設它是錯的，亦即我們假設 是有理數。這意味著 間 接 證 明 其中 m 跟 n 為整數，而且 n?0。我們假設 m 跟 n 沒有公因數，否則我們可以先將它們的最大公因數除去。 將等式的兩邊都乘以 n 並且取平方，我們得到 間 接