公共基础——数学之无穷级数学习笔记.docxVIP

1.4 无穷级数 数项级数 1．级数的存在意义和概念 级数是一个多项和。无穷级数是一个无穷多项的和。 级数理论 是分析学的一个分支，它与另一个分支——微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散和连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系——函数。 级数理论的基本问题： 级数的收敛问题 级数的作用： 研究函数 级数的应用： 近似计算 2．常数项级数的概念和性质 概念： un是一个数列， n=1∞un 是无穷级数 Sn=i=1nui 称为级数un 的部分和 若limn→∞Sn=S存在，称级数n=1∞un 收敛，当级数收敛时，对于余项rn=i=n+1∞ui 有 limn→∞rn=0 若limn→∞Sn=S不存在，称级数n=1∞un 发散 性质 和的级数 = 级数的和 每一项的常数倍之和 = 级数的常数倍 3．典型级数 n=1∞aqn-1 当q1时，级数收敛于a1-q，反之发散 n=1∞1np 当P1时 收敛，当0P≤1时 发散 4. 正项级数审敛法（4条） 当级数的各项均 0时，称为 正项级数。 什么是审敛法？ 就是通过级数的各种极限形式来判别级数的收敛与发散的方法。 收敛准则： 正项级数收敛的充要条件是其部分和有界。 部分和有界 是部分和数列 有界的必要条件。 比较审敛法： n=1∞un 、 n=1∞vn 对于N0，当时，0≤un≤Cvn(C为常数)，若后者收敛则前者收敛，若前者发散则后者发散。 比较审敛法的极限形式是 limn→∞unvn=l 当0l∞时，两级数同时收敛或同时发散。 比值审敛法（后项比前项） 若 limn→∞un+1un=l 当l1时（因为是正项级数所以这里默认l 是恒大于0的） 收敛，当l1或l=+∞时 发散，当l=1时 级数可能收敛也可能发散。 根植审敛法 limn→∞nun=l 当l1时 收敛，当l1或l=+∞时 发散，当l=1时 级数可能收敛也可能发散。 5. 任意项级数审敛法（3条） 如果级数 un 为任意实数，则其各项之和称为 任意项级数。即每一项的正负值不确定 若级数的正负项交替出现，即级数可以表示成 n=1∞(-1)nun (un0) 的形式，则称为交错级数。 如果级数 n=1∞un 为任意项级数，且级数 n=1∞un 收敛，则称???任意项级数 绝对收敛； 若前者收敛，而后者发散，则称 原级数条件收敛。 莱布尼兹判别法 若交错级数 n=1∞(-1)nun (un0) 满足：un≥un+1及limn→∞un=0，则原级数收敛，且有 余项 rn≤un+1 若任意项级数 绝对收敛，则该级数收敛。 如果级数 n=1∞un 为任意项级数，且级数 limn→∞un+1un=l （或limn→∞nun=l ） 则当l1时 收敛，当l1或l=+∞时 发散，当l=1时 级数可能收敛也可能发散。该部分可以类比 正项级数的 审敛法第3和4条，意思一样 幂级数 泰勒级数 在第一节中学的是 数项级数，即级数中的每一项都是常数（不管正的还是负的），但是有些级数的通项并不是常数，而是函数，这样的级数 就是函数级数此概念与 数项级数相对应 本节将要学习的幂级数和泰勒级数 都是函数级数的一种。 幂级数的概念和性质 形如 n=0∞an(x-x0)n 称为幂级数，令t=x-x0，则 幂级数的标准形式为 n=0∞antn 一个标准形式的幂级数完全由它的系数an来决定。这也是为什么 后面对幂级数的 处理都是针对an 来的，而不是前面的数项级数的 un 2.阿贝尔定理 若上级数在t=t0 处收敛，则对tt0 的所有t，级数绝对收敛 若 发散， 发散 3.幂级数的收敛半径及其求法 ρ→ R 对幂级数 n=0∞anxn 若 limn→∞an+1an=ρ(或limn→∞nan=ρ) 则它的收敛半径R与 ρ 有一定的对应关系 R=1ρ 当ρ≠0时 0 当ρ+∞时+∞ 当ρ=0时实际上这三者是一样的 ，都是R=1ρ 4. 函数展开成幂级数的方法 只考虑 间接法： 利用一些已知的函数展开式、幂级数的运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分）以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数，避免在 用直接法 时研究余项的麻烦。 常用函数的幂级数展开式： ex=n=0+∞xnn! (-∞x+∞) sinx=n=0+∞(-1)nx2n+1(2n+1)! (-∞x+∞) cosx=n=0+∞(-1)nx2n2n! (-∞x+∞) ln(1+x)=n=0+∞(-1)nxn+1n+1