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构造与论证一
1. 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列,今要将它们变为反5卷到第1卷.如果每次只能调换相邻的两卷,那么最少要调换?
2.有3堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,1989块石子,第二堆有989块石子,第三堆有89块石子.问能否做到: (1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?3.在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮.按钮每?
4.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上,有3名专业选手与3名业余选手参10分作为底分,每赛一场,胜者加分,负者2分,每胜业余选手一场加1分;专业选手每负一场扣2分,业余选手每负一场扣1分.问:一位业余选手最少要胜几场,才能确保他的?
5.n支足球队进行比赛,比赛采用单循环制,即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分.如果每一队至少胜一场,并且所有各队的积分都不相同,问:
(1)n=4是否可能?
(2)n=5是否可能?
6.如图35-1,将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数分别填入图中的10个圆圈内,使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.
7.(1)将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字排列在圆周上,使得任意相邻两数(大减小)不小于3且不大于5. (2)对于1至11这11个数字, (3)对于1至12这12个数字,(4)对于l至14这14个数字,满足上述要求的排列方法是否存在?8.1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数.现在要从中选出若干?
9.组互不相同的自然数,其中最小的数是l,最大的数是25,除1之外,这2倍,或者等于这组数中两个?当取到最小值时,这组数是怎样构成?
10.在10×19方格表的每个方格内,写上0或,然后算出每行及每列的各?
11.在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子,使得棋盘上每行、每?
12.在1000×1000的方格表中任意选取n个方格染为红色,都存在3个红色n的最小值.13.若干箱货物总重195吨,每箱重量不超过353千克.那么最少需要多少1.5吨的汽车,才能保证把这些箱货物一次全部运走?14.在图352中有16个黑点,它们排成了一个4×4的方阵.用线段连接4点,就可以画出各种不同的正方形.现在要去掉某些点,使得其中任意4?
15.在正方体的8个顶点处分别标上1,2,3,4,5,6,7,8,然后再把每条棱两端(1)各棱中点处所写的数是否可能恰有5种不同的数值?(2)各条棱中点处所写的数是否可能恰有4种不同的数值?某学校的学生中,没有一个学生读过学校图书馆的所有图书,又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过.问:能否找到两个学生甲、乙和三本4、B、C,使得甲读过A、B,没读过C,乙读过、C,没读过?说明判断过程.2.甲、乙、丙三个班人数相同,在班级之间举行象棋比赛.各班同学都按l,2,3,4,…依次编号.当两个班比赛时,具有相同编号的同学在同一台对垒.在15台是男、女生对垒;在乙、丙班比赛时,有9台是男、24.并指出在什24 ?
将5×9的长方形分成10个边长为整数的长方形.证明:无论怎样分法.4.将1515的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色.证明:至少可
5. 有9位数学家,每人至多能讲3种语言,每3个人中至少有2个人有共通3人能用同一种语言交谈. 2件礼品,分赠给其余3个人中的2人.试证明:2对人,每对人是互赠过礼品的.
7个点,其中任意3个点都不在同一条直线上.如果在这7个18条线段,那么这些线段最多能构成多少个三角形 ?
8.若干台计算机联网,要求:
①任意两台之间最多用一条电缆连接;
②任意三台之间最多用两条电缆连接;
③两台计算机之间如果没有电缆连接,则必须有另一台计算机和它们都连79条电缆.
问:(1)这些计算机的数量是多少台?
(2)这些计算机按要求联网,最多可以连多少条电缆?
9. 在9×9棋盘的每格中都有一只甲虫,根据信号它们同时沿着对角线各自?
10.在一个6×6的方格棋盘中,将若干个1×1的小方格染成红色.如果随意划3行3列,在剩下的小方格中必定有一个是红色的.那么最少要涂多少个方格?
11.如图36,把正方体的6个表面剖分成9个相等的正方形.现用红、黄、3种颜色去染这些小正方形,要求有公共边的正方形所染的颜色不同.那么染?
12. 证明:在6×6×6的正方体盒子中最多可放入52个1×l×4的小长方
13.在8×8的方格表选择8个不相交的2×2小正方形染色.证明:至少存1个2×2小正方形与所有染色的小正方形都不相交(这里的相交指包含公共).
14.用若干个l×6
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