关于组合数学中的分配问题的讨论(唐晴).doc

关于组合数学中的分配问题的讨论 邮编：416209 单位：湖南省凤凰县禾库九年制学校 姓名：唐晴 电话 职称：中教二级 职务：数学教师 摘要：本文主要讲述如何解答分配问题，同时还介绍在分析问题时应该注意的方法。 关键词：组合、分配、平均、不平均 组合数学中的分配问题，即人们常说的“平均分组”与“不平均分组”问题，它既是组合数学中的重点，也是难点，值得广大教学工作者一起探讨。鉴于该类问题的抽象性较大，应用广泛，笔者根据自己的经验与理解，写下了这篇论文，希望对教与学有一定的帮助。 1.相关概念 1.1平均分组问题 平均分成的组，不管它们的顺序如何都是一种情况，所以分组后要除以，即，其中表示组数。至于为什么要除以呢？读者不妨看下面的例题。 例 把分成平均两组有多少种分法？ 首先，从4个字母当中选两个，即种选法，再选剩下的两个种选法，根据乘法原理一共种选法。选得的结果如下： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 其中①⑥相同，②⑤相同，③④相同，所以结果为种分法。 平均分组包括以下两种类别：有分配对象和无分配对象；分配对象确定和分配对象不确定。 也就是问题探讨前四种问题：均分无分配对象的问题、均分有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）、部分均分无分配对象的问题、部分均分有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）。 1.2不平均分组问题 1.有分配对象和无分配对象； 2.分配对象确定和分配对象不确定。 即问题探讨的后两种问题：非均分组无分配对象的问题、非均分组有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）。 2.问题探讨 2.1均分无分配对象的问题 例2.1 12本不同的书 按平均分成堆有多少种不同的分法？ 按平均分成4堆有多少种不同的分法？ 解：（1） （2） 2.2均分有分配对象的问题 例2.2 6本不同的书 平均分给甲乙丙3个人，有多少种不同的分法？（分配对象不确定） 甲2本、乙2本、丙2本，有多少种不同的分法？（分配对象确定） 解：（1）（种） （2）（种） 注意：均分有分配对象的问题，分配对象确定与分配对象不确定是同一回事。 2.3部分均分无分配对象的问题 例2.3 12本不同的书按以下方式分配分别有多少种不同的分法？ 按分配； 按分配； 按分配。 解：（1） （2） (3) 2.4部分均分有分配对象的问题 例2.4 12支笔按如下方式分给A、B、C、D、E五个人，分别有多少种不同的分法？ 按分配；（分配对象不确定） A三本、B三本、C二本、D二本、E二本。（分配对象确定） 解：（1） （2） 2.5非均分组无分配对象的问题 例2.5 16本不同的书 按分成3堆有多少种不同的分法？ 按分成3堆有多少种不同的分法？ 按分成4堆有多少种不同的分法？ 解：（1） （2） （3） 注意：非均分无分配对象问题只要按比例分再用乘法原理作积。 2.6非均分组有分配对象的问题 例2.6 12本不同的书 按分给甲乙丙3人有多少种分法？（分配对象确定） 1人2本、1人4本、1人6本分给甲乙丙三人有多少种不同的分法？（分配对象不确定） 解：（1） 注意：非均分组有分配对象，并且分配对象不确定，要把组数当做元素个数再做排列。 3.分配问题的相关变形 在掌握了以上基本问题情境的基础上，我们可以把其他更为复杂的组合数学题转化为分配问题，从而达到事半功倍的效果。 例3.1 撒个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？ 分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1、1、2.实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各一个，另一组2个，分好组后再排列。 解：（种） 例3.2 有甲、乙、丙三项任务，甲需二人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？ 解：先考虑分组，共有种分法；再考虑排列，因为甲任务需2人承担，所以2人的那组只能承担甲任务，而1人的组既可以承担乙任务又可承担丙任务。综合起来，不同的选法有（种） 评析：解数学问题时，要学会“具体问题具体分析”，辩证的对待每一个问题，这样才能提高解题能力。 例3.3 把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混双比赛，不同的比赛分配方法有多少种？ 分析：用1、2、3、4标记4名男乒乓球选手，用a、b、c、d标记4名女乒乓球选手，该问题可转化为把男女选手分别平均分配，然后再组合，假设男选手分配为（12）、（34），女选手分配为（ab）、（cd）,则组合可得8种情况： 1a\2b,3c\4d; 1a\2b,3d\4c; 1b\2a,3c\4