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有 限 元 课 程 习 题 21、试简要阐述有限元分析的基本步骤主要有哪些。 有限元分析的主要步骤主要有： 1、结构的离散化 2、单元分析。选择位移函数、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据物理方程建立应力与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系（单元刚度方程） 3、等效节点载荷计算 4、整体分析，建立整体刚度方程 5、引入约束，求解整体平衡方程 22、有限元网格划分的基本原则是什么？提出图示网格划分中不合理的地方。 有限元划分网格的基本原则是： 1、拓朴正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接 2、几何保形原则。即网格划分后，单元的集合为原结构近似 3、特性一致原则。即材料相同，厚度相同 4、单元形状优良原则。单元边、角相差 尽可能小 5、密度可控原则。即在保证一定精度的前提下，网格尽可能稀疏一些 (a)单元间没有考虑节点相联 (b)网格形状太差，单元边长相差太大 (c)没有考虑对称性，单元边长相差太大 23、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？ 划分为杆单元， 8个节点，12个自由度 24、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？举例说明 平面应力问题： 若物体的某一方向的尺寸较另外两个方向的小得多，即为一等厚平板，且在平板的边界有平行于平面切沿厚度方向均匀分布的面力，则此类问题可简化为平面应力问题。 如一方形薄板边 上作用有分 布面力： 连杆 25、单元刚度系数的物理意义是什么？单元刚度矩阵有哪些特点？ 单元刚度系数的物理意义是： Kije表示当节点j 处产生单位位移，而其它节点被完全约束时，在i节点处产生的力。kij12表示当节点j 处产生垂直方向的单位位移（vj=1）而其它节点被完全约束时，在i节点水平方向产生的节点力（ Fixe ）， 26、设位移为线性变化，将图示各单元边上的载荷等效到相应的节点上去。 移置到ij处力分别为: 27 将q,F及重力分别移置到节点 28 证：设ij边上任一点坐标为x,y 则其位移为 29 建立如图坐标系： (xi yi)-(a,0) (xj yj)-(0,a) (xm ym)-(0,0) 2、应变矩阵B 节点编号 同理求得： Ａ＝１ 二、求单元刚度矩阵 　（１）、对单元① 　 (i=1,j=2,m=4) 由ai=xjym-xmyj bi=yi-ym ci=xm-xj 得 b1= -1 c1=-2 b2=1 c2=0 b4=0 c4=2 由 r,s = i,j,m 令 得: ∴ （１）、对单元② 　 (i=2,j=3,m=4) b2 = 0 c2 = -2 b3 = 1 c3 = 2 b4 = -1 c4 = 0 求得： * （a） （b） （c） （a）桁架结构模型 （b）钢架结构模型 （c）混凝土梁结构 划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度 平面四节点，四边形单元，8个节点，13个自由度 （d）水坝模型 平面三角形单元，29个节点，38个自由度 x y y z a b 平面应变问题： 若物体的z方向的尺寸足够长，且载荷平行于横截面，并沿z方向均布，则此类问题可简化为平面应变问题。如水坝的计算一般采用平面应变模型。 单元刚度矩阵的特点是： 单元刚度矩阵是对称矩阵 单元刚度矩阵是奇异矩阵 F Fja Fia (1)集中力F平行于 x轴，e 点到ij点的距 离分别为lie,lje i j lj li e (2) 边长为lij的边上有线性 分布载荷，最大值为 q 移置到ij处力分别为: i j θ i点合力为：1/6qlij j点合力为：1/3qlij q q F i j m x y q :移到m,i点 F :移到m,j点 重力:移到m,I,j点 所以： ∵ ij点位移为0 ∴ui,vi,uj,vj均为0 要证 {δ}=0 只需证，Nm = 0 Nm= 1/2A (am+bm x +cmy) (1) am = xiyj-xjyi bm = yi-yj cm = xj-xi ∴(1)式 = xiyj-xjyi+(yi-yj)x+(xj-xi)y = xiyj-xjyi+xyi-xyj+yxj-yxi ∵端点为ij边上任一点 ∴yi/xi = yj/xj