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7.2 布洛赫函数 第 7 章 能带 固体物理导论 * 晶体系统的哈密顿量　 将晶体看作是可在全部晶体中运动的价电子与位于格点的离子的集合，其哈密顿量 电子部分 离子部分 价电子与晶格离子间的相互作用 * 金属中电子运动的典型速率 vF 可认为离子对电子的运动并无反应，而电子对离子的运动响应如此迅速，以至电子体系的能量总是处于任一瞬时离子位置相对应的最低能量 7.2. 1 单电子近似 绝热近似(玻恩-奥本海默近似)　 106 m/s 量级 离子运动速率 最高 103 m/s 量级 ——电子绝热地响应离子位置的变化 * 绝热近似有效地将电子运动与离子运动分开成独立的两部分，讨论电子运动时，只须将所有离子固定在某一瞬间位置上 在本章可认为所有的离子都处在平衡位置，即相对于绝对零度时的情形，因此对于电子部分 在 He-i 内，认为所有离子都处于格点的平衡位置，电子的波函数只决定于电子的坐标 * 绝热近似下电子的哈密顿量 交叉项，给问题带来复杂性 如无交叉项，则电子的薛定谔方程简化为 * 而 F 则可以表示为单电子波函数的乘积 第 j 个电子的坐标 N ：价电子总数 而能量本征值 Ej 为单电子能量，满足 可把 F 当做电子薛定谔方程的近似解，据此算得 H 的久期值，再用变分法确定单电子波函数 jj 应满足的方程 * 设单电子波函数满足正交归一性，即 这样电子哈密顿量的久期值 根据变分原理，近似程度最好的 jj 应使 E 极小。将上式对 jj 变分，并将 Ej 作为拉格朗日乘子 * 第 j 个电子在所有其它电子作平均分布时的电子间库仑作用势，从而在一定程度上计及了点自己相互作用 因此 哈特利方程 问题简化为在一个所有晶格离子的周期场以及其它电子的平均场中运动的单电子问题 * 7.2. 2 布洛赫波 其中， 包括晶体离子势和其它电子的平均势 讨论晶体中的电子态即为求解单电子薛定谔方程 复杂的多电子体系问题 周期场中的单电子运动问题 哈特利方程 晶格周期性，周期性势场 任意格矢 * 复杂的多电子体系问题 周期场中的单电子运动问题 哈特利方程 周期势：包括晶体离子势和其它电子的平均势 * 引入平移算符 Tl，其作用于任意函数的结果 具有共同的本征函数 将 Tl 作用于 上，得 表明哈密顿量与平移算符 Tl 对易： H 的本征函数 晶体中电子的本征函数 Tl 的本征函数 可选为 * 对平移算符，其本征函数应具备的性质 由于平移算符具有性质： ll 、lm为本征值 所以 即 Tl+m 的本征值 ll+m 满足 * 又 假设晶体为沿 方向的 N1 个原胞、 方向的 N2 个原胞、 方向的 N3 个原胞堆砌而成，将周期性边界应用于电子波函数得 l1 为平移 相应的平移算符 T1 的本征值 * 同样可得 因此 在倒空间引入矢量 则 是对应于平移算符本征值的量子数 * 布洛赫定理：对于含有晶格周期势的薛定谔方程，其解必定具有形式 证明：如果将电子波函数写成 其中 具有晶格的周期，即 则 又 * 布洛赫定理说明，晶体中的电子波函数具有调幅的平面波形式，被称为布洛赫函数 布洛赫函数是晶体电子哈密顿算符的本征函数，由式 表示的 称为电子波矢，具有量子数的作用。每一波矢的端点在空间是均匀分布的，称为状态代表点，其占据的体积为 * 因此，状态代表点在波矢空间中的密度为 V 为晶体体积 可见周期性边界条件决定了描述电子状态的波矢 在许多方面类似于声子波矢 ，例如 声子波矢 电子波矢 取值 状态密度 范围 第一布里渊区 第一布里渊区 * 类似地，也可将电子波矢 限制在第一布里渊区内，因为如果令 则 和 表示的平移算符的本征值相等，即 至少在非简并的情形， 和 代表的电子态相同 为任意倒格矢 第一布里渊区可容纳的状态代表点的数目为 等于原胞数 * 这一关系称为色散关系或者能带结构 相差倒格矢的波矢描述相同的状态，应当也相应于同样的本征值，即 能带结构（色散关系）　 既然波函数可用波矢 标记，能量也可用 标记，即 此外，由于周期势 为实数，可以证明 7.2 布洛赫函数 第 7 章 能带 固体物理导论