场论和电磁波.ppt

第4章 静态场分析 一、静态场特性 静态场基本概念 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 恒定磁场的矢量泊松方程 三、静态场的重要原理和定理 1. 对偶原理 (1)概念：如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦称为二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量称为对偶量。 (3)静电场与恒定磁场 对偶方程 对偶量 (4)有源情况下的对偶关系 对偶关系存在 不像上述两种情况那样一目了然 (5)应用 电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系， 某些波导中横电波(TE波)和横磁波(TM波)间的对偶关系 解: (1)由于内、外导体的电导率很高，可以认为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的边界条件一致，利用对偶原理，可以立即得到 2. 叠加定理 若 和 分别满足拉普拉斯方程，则 和 的线性组合 必然满足拉普拉斯方程。 证明： 已知 和 满足拉普拉斯方程 所以： 3. 惟一性定理 边值问题的分类 狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值 聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合 惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的。 用反证法可以证明。 四、镜像法 镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为 待求场域 中的电位 上半空间的电场 点电荷对无限大介质平面的镜像 线电流对无限大磁介质平面的镜像 当计算上半空间的磁场时 可认为整个空间充满磁导率为μ1的磁介质，在下半空间有一镜像电流I′，与I关于分界面对称(如图所示)。上半空间任一点的磁场为 当计算下半空间磁场时 可认为整个空间充满磁导率为μ2的磁介质，在上半空间有一镜像电流I″，与电流I 位置重合(如图)。下半空间任一点的磁场为 在分界面(r = r′= r″)上，磁场满足边界条件： 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像 由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 为整数时，该角域中的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解 当n=2时： 该角域外有3个镜像电荷q1、 q2和q3 ，位置如图所示。其中 当n=3时： 角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为 n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。 导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷 q″=－q′ 例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。 球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为 根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为 球壳外区域任一点电位为 球壳中： 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。 线电荷对导体圆柱面的镜像 待求区域： 边界条件：柱面上电位为零 设想镜像线电荷 位于对称面上，且与圆柱轴线距离为b，则导体柱面上任一点的电位表示为 其中： 带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像 设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为 和 ，其位置如图所示。 两电轴在空间产生的电位为 等位面方程为 例4：图为一偏心电缆，内导