发现规律解应用题(一).docVIP

十、发现规律解应用题（一） 　　已故著名数学家华罗庚教授曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一.”这种从少数事例中摸索出规律来的思考方法，对我们解某些应用题具有指导性的作用，下面举几个例子加以说明. 例1 观察下面数表（横排为行）： 　　 　　 　　行？在这一行中，这个数位于由左向右的第几个？ 分析与解 按题目要求，仔细观察分析前5行数有些什么规律. 　　首先不难看出：第一行有一个数，第二行有两个数，……，所以第n行有n个数. 　　第二，第n行中的n个数，由左向右其分母分别为1，2，3，…，n，而分子分别为n，n-1，…，3，2，1.换句话说，在某一行中，分母是几的数位于这一行由左起的第几个数. 　　 看出一个规律：就是每行中各数的分子、分母之和等于行数加1. 　　根据以上的规律，便可求出问题的解来. 例2 1991名同学从左到右按编号1到1991排成一列，然后从左到右1至3报数，凡报2的同学留下，其余的同学都离开.留下的同学按原顺序向左看齐后再1至3报数，凡报2的同学留下，其余的同学都离开，留下的同学按原顺序向左看齐后再1至3报数，依次重复上面的做法，直到留下的学生人数比3少为止.问最后留下的一个或两个同学中，站在第一号位上的同学在一开始站在什么号位上？ 分析与解 我们先从100人着手，看看有什么规律，能不能用这个规律解决这个问题， 　　因为100÷3=33余1，所以第一次报数后只留下33人，他们按原来编号排列如下： 　　2，5，8，11，14，17，20，23，…，92，95，98，而他们的新编号依次为1，2，3，…，31，32，33. 　　又因为5-2=3，8-5=3，…，95-92=3，98-95=3，所以第一次报数后站在新编号1，2，3，…，31，32，33等号位上的人，他们在开始队伍中的号位数，正好等于新号位数减1后与3相乘，再加2，也就是： 　　原号位数=（新号位数-1）×3+2 　　又因为33÷3=11，所以第二次报数后只留下11人，他们按原来的编号排列如下： 　　5，14，23，32，41，50，59，68，77，86，95 　　他们的新编号依次为： 　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 　　又因为14-5=9，23-14=9，32-23=9，…，86-77=9，95-86=9，5=3+2，所以第二次报数后，站在新编号1，2，3，…，11等号位上的人，他们在一开始队伍中的号位数，正好等于新号位数减1与9相乘，再加3，加2，即 　　原号位数=（新号位数-1）×32+3+2 　　因为11÷3=3余2，所以第三次报数后只留下4人，他们按原来的编号排列如下：14，41，68，95.他们的新编号依次为1，2，3，4. 　　又因为41-14=27，68-41=27，95-68=27，14=9+3+2，所以第三次报数后，站在新编号1，2，3，4号位上的人，他们在一开始队伍中的号位数，正好等于新号位数减 1与 27相乘，再加 9、加3、加2，也就是： 　　原号位数=（新号位数-1）×33+32+3+2 　　又因为4÷3=1余1，所以第四次报数后只留下1人，他就是41号，而41=27+32+3+2. 　　如果我们用a、b分别代表原号位与新号位数，那么经过第一、二、三、四次报数后，a、b之间存在下面的关系式： 　　a=（b-1）×3+2 　　a=（b-1）×32+3+2 　　a=（b-1）×33+32+3+2 　　a=（b-1）×34+33+32+3+2 　　分析对比这四个式子和报数的关系后，可得到一个更一般的关系式，即第k次报数后，a与b之间的关系可用下式表示： 　　a=（b-1）×3k+33k-1+…+32+3+2 　　因为1991÷3=663……2， 　　664÷3=221……1，221÷3=73……2， 　　74÷3=24……2，25÷3=8……1， 　　8÷3=2……2，3÷3=1， 　　即1991名同学要报7次名后，最后才剩1人，也就是上面一般等式中的k=7，就有 　　a=（1-1）×37+36+35+34+33+32+3+2 　　 =2+3+9+27+81+243+729 　　 =1094 　　这就说明了最后站在第一号位上的同学一开始站在1094号位上. 例3 一个楼梯共有20个台阶，我们规定上楼梯时，每次只能跨上一个台阶或两个台阶.问从地面到最上层共有多少种不同的跨法？ 分析与解 和例2一样，我们从简单情况开始，通过实验设法寻求规律，最后再利用规律解题. 　　如果楼梯只有一个台阶，那么只有一种跨法（见图1）. 　　如果楼梯只有两个台阶，那么只有两种跨法（见图2） 　　如果楼梯只有三个台阶，那么可有三种跨法（见图3）. 　　如果楼梯只