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高等数学归纳(第一章~第三章) 2010126137 彭伟奕 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一 、 集合 ●集合概念：集合（集）是指具有某种特定性质的事物的总体。 ●元素（元）：组成某个集合的事物称为该集合的元素（元）。 (a属于A,记作a∈A； a不属于A，记作aA。) ●表示集合的方法： 列举法：把集合的全体元素一一列举出来，例：A= 描述法：集合M=，例：M= ●集合间关系：A包含于B（AB），A不包含于B（AB） A是B的真子集（），A等于B（A=B）,空集是任何非空集合的真子集。 ●集合的运算：并，交，差 A\B= I\A为A的余集或补集，亦记 ●集合运算法则： 交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A 结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C) A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C 分配律：（A∪B）∩C=(A∩C) ∪(B∩C) (A∩B) ∪C=(A∪C) ∩(B∪C) 对偶律： 直积（笛卡尔乘积）：AB={（x,y）|x∈A且x∈B}，例：R×R={(x,y)|x∈R,y∈B}为XOY面上全体点的集合，R×R记作。 区间与邻域： （1）区间 开区间：（a,b）,a,b为开区间（a,b）的端点。 闭区间：[a,b] 半开区间：[a,b﹚, ﹙a,b] （2）邻域：以a为中心的任何开区间称以点a为邻域，记作U（a） 点a的δ邻域，记U(a, δ)，其中δ为任一正数， U(a, δ)={x|a-δ＜x＜a+δ}={x| |x-a|＜δ} 点a为邻域的中心，δ为邻域半径。 点a的去心δ邻域，，为把邻域中心去掉，={x|0＜|x-a|＜δ} 点a的左邻域：{a-δ，a}，点a的右邻域：{a,a+δ} 二、映射 ●定义：X，Y两非空集合，如有一对应法则f使X中每一个元素x，按f，Y中有唯一确定的元素y一之对应，则称f为从X到Y的映射，f：X，其中y为元素x（在映射f下）的像。 ●构成映射的三要素：（1）定义域,=X;(2)值域，Y；（3）对应法则f，对于每个x∈X,有唯一确定的y=f（x）与之对应。 满射、单射、双射 从X到Y上的满射：任一y都是x中某元素的像。 f为x到y的单射：x中任，且 双射：f为一一映射（或双射）：f既单射，又双射。 ●逆映射与复合映射： 1）设f是X到Y的单射，则由定义，对每一个y∈，有唯一的x∈X，适合f（x）=y.于是，我们可以定义一个从到X的新映射g，即 g：X 对每一个y∈，规定g（y）=x，这x满足f（x）=y.这个映射g称为f的逆映射，记作，其定义域，值域。 *只有单射才有逆映射。 ●复合映射：设两个映射g: X， f：,其中,则由映射g合f可以定义出一个从X到Z的对应法则，他将每一个x∈X映成f[g（x）] ∈Z.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g合f构成的复合函数，记作，即 *映射g与f成复合映射的条件：g的值域必须包含在f定义域内，即： 三、函数 ●定义：设数集D，则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为 y=f（x），x∈D 其中x称为自变量，y因变量，记作，即. ●值域：或f（D）即 f与f（x）的区别：f表示x与y的对应法则，f（x）表示x与对应的函数值。 ●表示函数的方法：表格法；图形法；解析法（公式法） ●构成函数的要素：定义域及对应法则f。（如果两个函数定义域和对应法则都相同，那么这两个函数就是相同的） ●函数的几种特性 （1）函数的有界性：X, 使则f(x)有上界 X, 使f(x)则f(x)有下界 X, 使|f(x)|则f(x)有界 如这样的M不存在则f(x)无界. （2）函数的单调性：设 ,I,如I上任意当时,恒有则f(x)在I上单调增加,如I上任意当时,恒有则f(x)在I上单调减少。单调增加与单调减少的函数统称为单调函数。 （3）函数的奇偶性：前提关于原点对称，如果，f（-x）=f（x）则f（x）为偶函数,如果，则f(x)为奇函数 （4）函数的周期性：设=D，存在一正数L使任一x有（xL）D，且f（x+L）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，L为周期，通常说的周期是最小正周期。 ●反函数与复合函数 （1）反函数：设函数f：Df（D）是单射，则它存在逆映射，称此映射为f的反函数。于是。一般记为，x。 F（x）称为直接函数，两函数关于y=x对称。 （2）复合函数：设y=f(u) u=g(x), 则有 y=, x 称为由函数u=g(x)与函数构成的复合函数,定义域,变量u称为中间变量 *构成条件：函