在自然科学和工程设计中的许多问题.doc

在自然科学和工程设计中的许多问题，如电磁振荡、桥梁振动、机械振动等，常归结为求矩阵的特征值和特征向量.求矩阵的特征值和特征向量的问题是代数计算中的重要课题.本章着重介绍直接计算矩阵的特征值和特征向量的MATLAB程序、间接计算矩阵的特征值和特征向量的幂法、反幂法、雅可比方法、豪斯霍尔德方法和QR方法及其它们的MATLAB计算程序.最后我们还讨论广义特征值问题. 5.1 直接计算特征值和特征向量的MATLAB程序 5.1.4 计算特征值和特征向量的MATLAB程序 从以上的讨论可以看到，有许多问题归结为求矩阵的特征值和特征向量，而用手工计算高阶矩阵的特征值与特征向量的难度较大，但是，计算机软件MATLAB提供了直接计算特征值与特征向量的MATLAB函数 （见表5–1），下面介绍这些函数的使用方法. 表5–1 命 令 能 b = eig(A) 输入方阵A，运行后输出b为由方阵A的全部特征值构成的列向量 [V,D] = eig (A) 输入对称矩阵A，运行后输出D为由A的全部特征值构成的对角矩阵，V的各列为对应于特征值的特征向量构成的矩阵，使得AV = DV [V,D] = eig (A,nobalance) 输入方阵A，运行后输出D为由A的全部特征值构成的对角矩阵，V的各列为对应于特征值的特征向量构成的矩阵，使得AV = DV；如果A是对称矩阵，则输出的结果与程序 [V,D] = eig (A)的运行结果相同 5.2 幂法及其MATLAB程序 幂法是求实矩阵的主特征值（即实矩阵按模最大的特征值）及其对应的特征向量的一种迭代方法. 5.2.2 幂法的MATLAB程序 设阶实矩阵的个特征值为，且满足，的主特征值对应的特征向量为，则我们可以用下面的MATLAB程序计算和的近似值和近似向量. 用幂法计算矩阵的主特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序 输入的量：阶实矩阵、维初始实向量V0、计算要求的精度jd、迭代的最大次数max1； 输出的量：迭代的次数k、的主特征值的近似值lambda、对应的特征向量的近似向量Vk、相邻两次迭代的误差Wc.如果迭代次数已经达到最大的迭代次数max1，则给出提示的相关信息. 根据迭代公式（5.20），现提供用幂法计算矩阵的主特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序如下： function [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,jd,max1) lambda=0;k=1;Wc =1; ,jd=jd*0.1;state=1; V=V0; while((k=max1)(state==1)) Vk=A*V; [m j]=max(abs(Vk)); mk=m; tzw=abs(lambda-mk); Vk=(1/mk)*Vk; Txw=norm(V-Vk); Wc=max(Txw,tzw); V=Vk;lambda=mk;state=0; if(Wcjd) state=1; end k=k+1;Wc=Wc; end if(Wc=jd) disp(请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：) else disp(请注意：迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：) end Vk=V;k=k-1;Wc; 例5.2.2 用幂法计算下列矩阵的主特征值和对应的特征向量的近似向量，精度.并把（1）和（2）输出的结果与例5.1.1中的结果进行比较. (1)； (2)；(3)；（4）. 解 （1）输入MATLAB程序 A=[1 -1;2 4];V0=[1,1];[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100), [V,D] = eig (A), Dzd=max(diag(D)), wuD= abs(Dzd- lambda), wuV=V(:,2)./Vk, 运行后屏幕显示结果 请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下： k = lambda = Wc = 33 3.00000173836804 8.691862856124999e-007 Vk = V = wuV = -0.49999942054432 -0.70710678118655 0.44721359549996 -0.89442822