经典数学问题的建模巧用.ppt

Matlab程序:进行实验 %棋子颜色问题演示 % 1---黑子,-1 -----白子 n=4; %定义棋子数 times=6;%定义迭代次数 x0=zeros(1,n); x1=zeros(1,n); %定义数组 for i=1:n k=rand(1,1); if(k0.5) x0(i)=1; else x0(i)=-1; end end; % 赋初值 x0 for i=1:times i for k=1:n-1 x1(k)=x0(k)*x0(k+1); end x1(n)=x0(n)*x0(1); x1 %显示各次结果 x0=x1; end 程序语句解释： 1.zeros(m,n),产生一个m×n的0矩阵，通常用于定义一个指定大小的矩阵.zeros(1,n)则产生一个全部为0的行向量。 2.rand(m,n),产生一个m×n的随机矩阵，每个元素都服从[0,1]上的均匀分布.rand(1,1)则产生一个服从[0,1]上的均匀分布的数字。 5、铺瓷砖问题 要用40块方形瓷砖铺下图7所示形状的地面，但当时市场上只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面，结果弄来弄去始终无法铺好。试问是这人的功夫不到家还是这个问题根本无解呢？ 图7 瓷砖待铺图 解答: 图8 标号的瓷砖待铺图 如图8，将各方格依次填入0和1。其中0和1相间隔，0周围全为1，1周围全为0。则每块长方形瓷砖总是盖住左右相邻或上下相邻的一个0和1。 对图中0和1进行记数，总共有19个1和21个0，故20块长方形砖不可能盖住40块方形砖。 6.某仓库要存放7种化学药品，其中有些药品彼此不能存放在一起，因为互相之间可能引起化学反应导致危险，所以必须把仓库分成若干区，各区之间相互隔离。用x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7分别表示7种药品。已知不能放在一起的药品为：(x1,x2), (x1,x4), (x2,x3), (x2,x5), (x2,x7), (x3,x4), (x3,x6), (x4,x5), (x4,x7), (x5,x6), (x5,x7), (x6,x7)问至少应把仓库分成多少隔离区,才能确保安全？ 分析与求解： 每种药品用一个顶点表示。当两种药品可以放在一起，则在图上对这两点进行连接。得到的图见图9。 图9 药品可放在一起的示意图 该问题转化为图7所示的图中，有哪些完全子图。 从该图可以看出，完全子图有(x2,x4,x6)，(x1,x3,x5)，（x7）。 或者划分为(x2,x4,x6)，(x1,x3,x7)，（x5）。 因此要把仓库分为3个隔离区。 经典数学问题的建模巧用 在这一章里，我们介绍一些利用数学知识或数学模型巧妙的解决一些经典的数学问题、数学游戏。这些问题有的看起来简单，却又不好下手，感觉有一种山重水复疑无路。然而采用合适的数学方法或数学工具后，突然有一种柳暗花明又一村的感觉。下面我们举几个这样的经典数学问题或数学游戏。 1 人、狼、羊、菜渡河问题 一个摆渡人希望用一条小船把一只狼，一头羊和一篮白菜从一条河的左岸渡到右岸去，而船小只能容纳人，狼，羊，菜中的两个，决不能在无人看守的情况下留下狼和羊在一起，也不允许羊和白菜在一起，应怎样渡河才能将狼、羊、白菜都运过去？ 解：采用试探法可以得到两种方法 方法１: 1.人、羊(去)-2.人(回)-3. 人、狼(去) -4. 人、羊(回) -5.人、菜(去) -6.人(回) - 7. 人、羊(去) 方法2: 1.人、羊(去)-2.人(回)-3. 人、菜 (去) -4. 人、羊(回) -5. 人、狼(去) -6.人(回) -7. 人、羊(去) 然而对于这样的问题，如何采用数学的方法来获得最优解呢？这是我们要解决的问题。 图1 状态转移图 图2 用标号表示的连接图 2 商人过河问题 有3名商人各带一个仆人乘船渡河，小船只能容纳两个人，由他们自己划船。仆人们约定，在河的人一岸，一旦仆人的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手里。问商人们怎样才能安全渡河？ 模型建立： S={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(3,0),(3,1),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3)} （1） 图3 安全渡示意图 图4 状态转移图 图5 用标号表示的连接图 3 等分酒问题 现有一只装满8斤酒的瓶子和两只分别装5斤和3斤酒的空瓶，