小学四年级奥数数列和巧算讲义.doc

专题二 运算奥秘大魔方 第四讲 巧算·数列 【点击目标】 复习巧算技巧并熟练掌握。 掌握数列基本的求和公式，并会计算常见简单的数列的和。 【知识模块】 世界著名的数学家高斯年幼时代聪明过人。上小学时，有一天数学老师出了一道题让全班同学计算：1+2+3+4+….+98+99+100=？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快说出了正确答案。小朋友们，你会立刻说出答案吗？ 若干个数排成一列称为数列，数列中第一项称为首项，最后一项称为末项。从第一项开始，后项与前项之差相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。由此，可以等差数列的求和公式为：数列和=（首项+末项）×项数÷2 【课堂回顾】（你都会做吗，试试看吧，要相信自己哟！） 例：（1）（400＋80）×25 （2）125×（800－20） （3）129×53-53×29 （4）157×29 + 29×43 （5）59×99 （6）125×82 （7）76＋76×99 （8）319×630 + 6810×63 （9）777×9+111×37 （10）124×38+62 ×124+76×110-76×10 【技巧详解】（碰到难题了吧，要思考哟，要听老师讲哟，相信你会掌握方法的！） 例1（1）1+2+3+4+5+…+2009+2010+2011+2012 （观察结构特点） （2）100+99-98+97-96+…+3-2+1 点拨分析：在认真观察算式结构、数据特点的基础上，利用加法的结合律和等差数列求和公 式可以使计算简便。 跃跃欲试： 小试牛刀：（1）2+4+6+8+10+12+…+2008+2010+2012 （2）1-2+3-4+5-6+7-…+99-100+101 例2（1）在等差数列2，5，8，11，…中，第108个数是多少？ （2）有一列数列：1，5，9，13，17，…，2921是它的第几项？（公式，你记住了吗？） 点拨分析：本例题是已知等差数列的首项、公差和项数求第几项是多少？经过观察，这个等差数列的首项是2，公差是3，项数是108，求第108项是多少？可以根据公式计算：末项=首项+（项数-1）×公差 跃跃欲试： 小试牛刀：一数列2，4，6，8，…问：这个数列的第100项是多少？2012是数列的第几项？ 例3 计算（1）3+7+11+…+99 （2）2012-3-6-9-…-51-54 （你会举一反三了吗？） 点拨分析：（1）这串加数组成的数列是等差数列，公差是4，首项是3，末项是99，但是我们发现项数从题中看不出来，这时需要先求出项数。根据上个例题中介绍的等差数列中首项、末项、公差的关系，可以得到：项数=（末项-首项）÷公差+1 跃跃欲试： 小试牛刀： （1）（2+4+6+…+1998+2000+2012）-（1+3+5+7+…+2007+2009+2011） （2）2011-2008+2005-2002+…+11-8+5-2 例4 （1）6+66+666+6666+66666+666666 （2）9999×2222+3333×3334 方法点拨：在不能直接运用乘法分配律进行简算时，可以适当利用拆分法后再运用乘法运算定律。 跃跃欲试： 小试牛刀：（1）3+33+333+3333+…+ （2）66666×44444+33333×11112 - 例5 1999×199819981998-1998×199919991999 （思考：101×19=？） 方法点拨：结合题目所给算式的特殊结构，而且199819981998显然有因数1998，199919991999显然有因数1999，从而前后两部分有公因数1999×1998，进而可发现前后两部分相等。 跃跃欲试： 小试牛刀：（1）2012×201120112011-2011×201220122012 （2）1995×199419941994-1994×199519951995 思维训练营 【基础助跑】 1. 54×53+54×16+69×25+21×69 2.369×123-123×9-360×23 3. 22×46+44×52 4. 303×540-54×30. 5.10+10×11+111×10+1111×10 6. 9999+999+99+9 【实战演练】 1、11+12+13+..+1999 2、4+7+10+13+…+301+304