小学奥数构造与论证第一讲.doc

构造与论证第一讲 内容概述 各种探讨给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题．这里的 典型问题 2.有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到： (1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走? 【分析与解】 (1)可以，(1989，989，89) (1900，900，)(950，900，950)(50，0，50)(25，25，50)(O，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子 4.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的? 【分析与解】 当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么10+2-3=9(分)．此时，10+2-2+3=13(分)．所2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+434(分)，其中0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分，推知，必有人得分不超过11分. 也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高. 6.如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图. 【分析与解】 要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽 因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5×(1+2+3+…+10)275． 每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275，整数M28． 下面来验证M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27．因28肯定是相间排列，和27也是相4个差值为l，这样从1填起，容 8.1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干? 【分析与解】 我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参? 考虑到44的平方为1936，所以去到44就够了，因为如果剩下的构成了乘式44，所以可以保证剩下的构不成乘式．因为1保留，于是去掉2，3，4，…，44这43个数．但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢?构造2×97，3×96，495，…，44×45，发现这43组数全不相同而且结果都比1998小，所以要去掉这些乘式就至少要去掉410.在10×19方格表的每个方格内，写上0或，然后算出每行及每列的各? 【分析与解】 首先每列的和最少为0，最多是10，每行的和最少是0，最多19，所以不同的和最多也就是0，1，2，3，4，…，18，19这20个．下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现．如果0出现在行的和中，说明有1行全是0，意味着列的和中至多出现0到910个数字，所以少了一种可能． 如果0出现在列的和中，说明在行的和19不可能出现，所以0出现就意味 12．在1000×1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色n的最小值． 【分析与解】 首先确定1998不行．反例如下： 其次1999可能是可以的，因为首先从行看，1999个1000行中，肯定有一些行含有2个或者以0或1个红点的行最多999个，所1999-999=1000，如1000，那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红 如果是等于1000而没有这样的2个红点在一列，999行只含有1个红点，而剩下的一行全是红n的最小值为1999．14．在图352中有16个黑点，它们排成了一个4×4的方阵．用线段连接4点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4? 【分析与解】 至少要除去6个点，如下所示为几种方法：