第二节随机变量的独立性课件.ppt

多维随机变量及其分布 第二节 随机变量的独立性 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随机变量 设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布. 这个分布就是条件分布. 引言 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布. 体重X 身高Y 体重X 的分布 身高Y 的分布 引言 现在若限制 1.7Y1.8(米), 在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布. 容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会不一样. 引言 一、离散型随机变量的条件分布 实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复. 定义1 设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若 P{Y = yj } 0，则称 为在 Y = yj条件下随机变量X的条件分布律. P{X= xi |Y= yj }= ，i=1,2, … 类似定义在 X= xi 条件下 随机变量Y 的条件分布律. P{Y= yj |X= xi }= ，i=1,2, … 条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质一样. 例如： i=1,2, … 一、离散型随机变量的条件分布 例1 一、离散型随机变量的条件分布 已知 ( X, Y ) 具有如下分布 解 由上述分布律的表格可得 一、离散型随机变量的条件分布 一、离散型随机变量的条件分布 设 X 和 Y 的联合概率密度为 关于 的边缘概率密度为 , 则称 为在 的条件下 的条件概率密度. 记为 定义2 若对于固定 的 , 二、连续型随机变量的条件分布 类似地,可以定义 例2 设(X,Y)的概率密度是 求 . ( X,Y )关于 Y 的边缘概率密度为 解 二、连续型随机变量的条件分布 例3 设数 X 在区间 (0,1) 均匀分布，当观察到 X=x (0x1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值 . 求 Y 的概率密度. 解 依题意，X具有概率密度 对于任意给定的值 x (0x1)，在X=x 的条件下，Y的条件概率密度为 二、连续型随机变量的条件分布 X 和Y 的联合密度为 于是得Y的概率密度为 已知边缘密度、 条件密度，求 联合密度 二、连续型随机变量的条件分布 练习 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为 求 解 二、连续型随机变量的条件分布 两事件 A , B 独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件 A , B 独立 . 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x，y，有 则称 X 和 Y 相互独立 . 即 三、随机变量的独立性 （2）若 (X,Y)是连续型r.v ，则独立性的定义等价于 注：（1）若 (X,Y)是离散型 r.v ，则独立性的定义等价于 三、随机变量的独立性 解 例4 三、随机变量的独立性 (1)由分布律的性质知 三、随机变量的独立性 又 (2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有 三、随机变量的独立性 例5 设(X,Y)的概率密度为 问X和Y是否独立？ 解 故 X , Y 独立 . 三、随机变量的独立性 练习 若(X,Y)的概率密度为 问X和Y是否独立？ 解 0x1 0y1 故 X 和 Y 不独立 . 三、随机变量的独立性 例6 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？ 解 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 以12时为起点,以分为单位,依题意, X~U(15,45), Y~U(0,60) 三、随机变量的独立性 所求为P( |X-Y | 5) , 甲先到 的概率 由独立性 先到的人等待另一人到达的时间不 超过5分钟的概率 P(XY) 三、随机变量的独立性 P( | X-Y| 5 ) =P( -5 X -Y 5) P(XY) 三、随机变量的独