应用泛函分析教案2.doc

§4 柯西点列和完备度量空间 教学内容(或课题)： 目的要求： 掌握柯西点列、完备度量空间的概念，学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间. 教学过程： 设是中的点列，若0，，s.t.当时，有=，则称是中的柯西点列. Def 1 设=(，)是度量空间，是中的点列. 若0,，s.t.当时，有，则称是中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(，)中每个柯西点列都收敛，则称(，)是完备的度量空间. 有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备，如点列1, 1.4, 1,41, 在中收敛于，在有理数集中不收敛. 但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列. 实因若，则0, ，s.t.当时，都有.因此当时，有++. 所以是柯西点列. 例2 (表有界实或复数列全体)是完备度量空间. 证明 设是中的柯西点列，其中=.0, ，s.t.当时，都有 = (1) 因此对每个固定的，当时，成立 (2) 于是，是柯西数列. 由于实数集或复数集按差的绝对值定义距离是完备的，故存在实或复数，s.t. ()令=，往证且. 在(2)中，令，得时，成立 (3) 因为=，所以0，s.t. ，成立(不同的数列，界可能不一样). 所以 +. 所以. 由(3)知，时，成立. 所以. 所以是完备度量空间. 例2 令表示所有收敛的实或复数列的全体，=， =，令 =. 则 0且=时，=0. 又==0 =(). 于是=0 =. =，则由于对，成立 ++= +. 所以+. 即+. 所以可定义为中两点间的距离. 于是按距离成为度量空间(实际上是的一个子空间). 欲证是完备度量空间，先证 Th 1 完备度量空间的子空间是完备度量空间 是中的闭子空间. 证明 设是完备子空间，对每个，中点列，使. 所以是中柯西点列. 所以它在中收敛. 由极限的唯一性，所以. 所以. 即是中的闭子空间. 反之，若是中柯西点列，因是完备度量空间，则在中收敛. 即，s.t. .因为是中的闭子空间，所以，所以在中收敛. 于是是完备度量空间. 例2的证明 由Th 1 只证是中的闭子空间即可. =(要证，从而)，=()，s.t. . 所以0，，s.t.当时，成立 =. 特别取，则对，成立 .因为, 所以当时，收敛. 故，s.t. ,时，成立 . 所以,时，成立 ++++=. 所以是柯西数列，因而收敛. 所以=. 所以是中的闭子空间. 由Th 1，是完备度量空间. 证毕. 作业： 206. 14. 15中的. 作业题解： 14 =1，，s.t.当时，有1, 特别当时，有1. 又时，只有有限个值故0,s.t. . 因此，成立 +. 所以是有界点列. 15设是中的柯西点列，=. 即0, ， s.t.时，成立 = () 所以，时，成立 . 因为给0， 对于每个固定的，：0，然后由这个，按不等式()，. 所以时，对这个固定的，成立. 所以 (). 所以是实(复)数集中的柯西点列. 而实(复)数集完备, 所以收敛，设(). 记=，则. 而，所以完备. 设是中的柯西点列，=，. 0，，s.t.当时，成立. 所以及，成立 . () 因此在集上，函数列收敛，设. 由()式，令得时，. 所以时，++(由于收敛，从而存在). 所以，又已证所以是完备度量空间. 柯西点列和完备度量空间(续) 教学内容(或课题)： 目的要求： 再次巩固上次课学习的概念与定理，进一步掌握使用概念及定理判别完备度量空间的常用方法. 教学过程： 是完备的度量空间. 证明 设 ， 是中的柯西点列. 0，，s.t.当时，成立 . (4) 所以，有. 于是当固定时， 是柯西数列.由实(复)数集的完备性，，s.t.. 往证，实因在(4)中令，得知时，成立 .