第五章图像变换.ppt

式中： x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。 二维DCT逆变换定义如下： 式中：x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。 同时，由公式可知二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即 x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。 通常根据可分离性， 二维DCT可用两次一维DCT来完成， 其算法流程与DFT类似， 即 * 二维离散余弦变换为 正变换 * 第5章 首先沿f(x, y)按行进行1-D变换 然后沿T(x, v)按列进行1-D变换 图像变换的矩阵表示 数字图像都是实数矩阵， 设f(x,y)为M×N的图像灰度矩阵， 通常为了分析、推导方便，可将可分离变换写成矩阵的形式： F=PfQ f=P-1FQ-1 其中，F、f是二维M×N的矩阵；P是M×M矩阵；Q是N×N矩阵。 式中，u=0, 1, 2, …, M－1，v=0, 1, 2, …, N－1。 对二维离散傅立叶变换，则有 实践中，除了DFT变换之外，还采用许多其他的正交变换。例如：离散余弦变换、沃尔什-哈达玛变换等。 * 平移性 傅里叶变换和逆变换对的位移性质是指(M=N)： 由f(x,y)乘以指数项并取其乘积的傅立叶变换，使频率平面的原点位移至(u0,v0)。同样地，以指数项乘以F(u,v)并取其反变换，将空间域平面的原点位移至(x0,y0)。当u0=v0=N/2时，指数项为： * 即为： 这样，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以将f(x,y)的傅里叶变换原点移动到N*N频率方阵的中心，这样才能看到整个谱图。另外，对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。 此外，与连续二维傅里叶变换一样，二维离散傅里叶变换也具有周期性、共轭对称性、线性、旋转性、相关定理、卷积定理、比例性等性质。这些性质在分析及处理图像时有重要意义。 * DFT应用中的问题 1）频谱的图像显示 DFT在计算机图像处理中计算的中间过程和结果要图像化。对DFT来讲不但f(x,y)是图像,F(u,v)也要用图像来显示其结果。 谱图像就是把|F(u,v)|作为亮度显示在屏幕上。但在傅里叶变换中F(u,v)随u,v的衰减太快，其高频项只看到一两个峰，其余皆不清楚。 * 其中： c = 255 / k; k = max(log(1 + |F(u,v)|))值域[0,k]的上限（最大值） 即用显示D(u,v)来代替只显示|F(u,v)|不够清楚的补救方法。 谱的显示加深了对图像的视觉理解。如一幅遥感图像受正弦网纹的干扰，从频谱图上立即可指出干扰的空间频率并可方便地从频域去除。 由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，设显示信号为D(u,v) 离散傅立叶变换的显示 * 图4.7 图像的傅里叶频谱图像，原始图像，(b)频谱直接显示，(c)频谱经过变换后的结果 (b) (c) a. a. * 2)频谱图像的移中显示 常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心的公式，其结果中心最亮点却在频谱图像的左上角，作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角，为了观察方便，将频谱图像的零点移到显示的中心。 当周期为N时，应在频域移动N/2。利用DFT的平移性质，先把原图像f(x,y)乘以(-1)(x+y)然后再进行傅里叶变换，其结果谱就是移N/2的F(u,v)。图所示。 应当注意，显示是为了观看，而实际F(u,v)数据仍保留为原来的值。 * 图4.8 频谱图像的移中显示 (a)未移至中心的频谱图像，(b)移至中心后的频谱图像 (a) (b) * 数字图像傅里叶变换的频谱分布 数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果:变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。 为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅里叶频率位移的性质，只需要用f(x，y)乘上(-1)(x+y) 因子进行傅里叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。 频率平面与图像空域特性的关系 图像变化平缓的部分靠近频率平面的圆心，这个区域为