由递推关系求通项的问题类型及其思想方法.doc

由递推关系求通项的问题类型及其思想方法 丹阳市教育局教研室 王先进 数列大题目在高考中出现常常有两类：一类是作为简单题或中档题出现的，往往是紧扣等差数列等比数列及求和问题，用的最多的是等差，等比数列的基本公式，方程的思想（基本量）和常用的求和技巧。另一类则是压轴题，常常与函数，不等式，解析几何等综合，而且总与数列的递推关系有关。 给定首项和递推关系是给出数列的一种方法，就是说这样这个数列就是确定的了。这类问题是近年来高考中的热点问题。通过研究我们得到如下的一些认识： 1．递推关系的形成：直接给出，函数给出，解析几何给出，应用问题给出，方程给出。 2．给出递推关系求通项，有时可以用归纳，猜想，证明的思路； 而证明型的问题用数学归纳法往往是一种比较简单的方法； 而给出铺垫（转化后的数列）的问题常常可以用证明（变换，待定系数法等）处理，一般难度不大。 3．给定首项和递推关系往往可以用演绎（推导）的方法求出它的通项公式，其最主要的思想方法是生成，转化，叠代。 4．给定首项和递推关系，有时不一定能求出通项，却也可以研究它的其他性质。（如取值范围，比较大小，其他等价关系等，无非等与不等两类），这类问题往往有一定的难度。 本文主要研究的是3中提出的问题。这类问题是高考中常见的，又是明显超出课本要求的，那么这类问题到底有几种常见的类型，需要掌握到什么程度，又有哪些重要的思想方法？下面分五点加以说明。 一．由等差，等比演化而来的“差型”，“商型”递推关系 ①等差数列： 生成：，，…， 累加： = 由此推广成差型递推关系： 累加： = ，于是只要可以求和就行。 ②等比数列： 生成：，，…， 累乘：= 由此推广成商型递推关系： 累乘： 例题1。已知数列满足： 求证：① ②是偶数 （《数学通讯》2004年17期P44） 证明：由已知可得： 又= 而= 所以，而为偶数 例题2。已知数列，且, 其中k=1,2,3,……. （I）求（II）求{ an}的通项公式. (全国高考（一）22题) （Ⅰ） (II) 所以 ，为差型 故 = － 所以{an}的通项公式为： 当n为奇数时， 当n为偶数时， 二．由差型，商型类比出来的和型，积型：即 例题3：数列中相邻两项，是方程的两根，已知 求的值。 分析：由题意：+------------------------① 生成： +-----------------② ②—①： 所以该数列的所有的奇数项成等差，所有的偶数项也成等差 其基本思路是，生成，相减；与“差型”的生成，相加的思路刚好相呼应。 到这里本题的解决就不在话下了。 特别的，若+，则 即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等。 若 ------------------------------① 则 ---------------------------② ②÷①： 所以该数列的所有的奇数项成等比，所有的偶数项也成等比。 其基本思路是，生成，相除；与“商型”的生成，相乘的思路刚好相呼应。 特别地，若，则 即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等。 三．可以一次变形后转化为差型，商型的 1． 例题4：设是常数，且， 证明：（2003年新课程理科，22题） 分析：这道题目是证明型的，最简单的方法当然要数数学归纳法，现在我们考虑用推导的方法来处理的三种方法 方法（1）：构造公比为—2的等比数列，用待定系数法可知 方法（2）：构造差型数列，即两边同时除以 得：，从而可以用累加的方法处理。 方法（3）：直接用叠代的方法处理： 说明：①当时，上述三种方法都可以用； ②当时，若用方法1，构造的等比数列应该是 而用其他两种方法做则都比较难。 ③用叠代法关键是找出规律，除含外的其他式子，常常是一个等比数列的求和问题。 2．型 例题5。已知，首项为，求。（2003年江苏卷22题改编） 方法1：两断取常用对数，得， 令，则，转化如上面类型的。 特别的，a=1，则转化为一个等比数列。 方法2：直接用叠代法： 四．型的 利用转化为型，或型 即混合型的转化为纯粹型的 例题6． 已知数列的前n项和Sn满足 (Ⅰ)写出数列的前3项 (Ⅱ)求数列的通项公式; 分析：---------------① 由得----------------② 由得，，得--------------③ 由得，，得---------④ 用代得 -----------⑤ ①—⑤： 即----------------------------⑥ -----------------------