排列组合问题文档.docVIP

　1特殊元素和特殊位置优先策略 　　例1由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 　　解由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置，先排末位共有，然后排首位共有，最后排其它位置共有，由分步计数原理得=288. 　　点评位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置.若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件. 　　2相邻元素捆绑策略 　　例27人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法？ 　　解可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得共有=480 种不同的排法. 　　点评要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 　　3不相邻问题插空策略 　　例3一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 　　解分两步进行，第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4个舞蹈插入第一步排好的5个元素中间的空位的空位包含首尾空位共有种.由分步计数原理，节目的不同出场顺序共有种. 　　点评元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队，再把题目中要求不相邻的元素插入中间和两端. 　　4定序问题倍缩空位插入策略 　　例47人排队，其中甲乙丙3人顺序一定，有多少不同的排法？ 　　法一（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：. 　　法二（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法. 　　思考可以先让甲乙丙就坐吗？ 　　法三（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有4×5×6×7方法. 　　点评定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理. 　　5环排问题线排策略 　　例55人围桌而坐,共有多少种坐法? 　　解围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线，其余4人共有种排法,即 (5-1)!. 　　点评一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 　　6排列组合混合问题先选后排策略 　　例6有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？ 　　解第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法，再把4个元素(其中一个为复合元素)装入4个不同的盒内有种方法.根据分步计数原理，装球的方法共有以种. 　　点评解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?请读者思考. 　　7正难则反总体淘汰策略 　　例7从0—9这十个数字中任取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？ 　　解直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法.这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有，和为偶数的取法共有，再淘汰和小于10的偶数共9个，符合条件的取法共有（）种. 　　点评有些排列组合问题,正面直接考虑往往比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰. 　　8平均分组问题除法策略 　　例86本不同的书平均分成3堆,每堆2本，共有多少分法？ 　　解分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为a，b，c，d，e，f，若第一步取ab,第二步取cd,第三步取ef，该分法记为(ab,cd,ef),则中还有(ab,ef,cd),(cd,ab,ef),(cd,ef,ab)，(ef,cd,ab),(ef,ab,cd)共5种取法,而这些分法仅是(ab,cd,ef)一种分法,故共有种分法. 　　点评平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后需除以为均分的组数)以避免重复计数. 　　9化归策略 　　例925人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？ 　　解将这个问题简化成9人排成3×3方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人，从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有种.再