排列组合问题的解法第三计.docVIP

每周一计第三计——排列组合问题的解法 解决排列组合问题要讲究策略，用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。 在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 例1?0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？ 解法一：(元素优先)分两类：第一类，含00在个位有种，0在十位有种；第二类，不含0有种。 故共有 ＋）＋＝３０种。 注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 种。 ??? 故共有 练习：甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加4*100m接力赛，其中甲、乙不跑最后一棒，共有多少种不同的安排方法？（此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法，但位置优先则更简单） （二）．排除法 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去. 例２=78种． （三）.相邻问题“捆绑法” 对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素自排。例3? 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应全排列。由乘法原理共有种。 例4? 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有种。 注意：①分清“谁插入谁”的问题。要先排的元素，再插入的元素；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。 例5? 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有种。 选位不排先在总位置中选出序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。 例6? 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？ 解：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有种，再排列其它3人有，由乘法原理得共有 =60种。 “小团体”排列，先“团体”后整体 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？ 解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有种，由乘法原理，共有例８：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有　　　　种排法． 解：可以在前后两排随意就座，故两排可以看成一排来处理，所以不同的坐法有 ． (八)列举法 如果题中附加条件增多,直接解决困难,用列举法寻找规律有时也是行之有效的方法． 例9：从１到１００的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于１００，则不同的取法有 种。 解：此题的数字较多，情况也不一样，需要分析摸索其规律。为方便，两个加数中较小的为被加数，１＋１００＝１０１＞１００，１为被加数的有１种；同理，２为被加数的有　２种；３为被加数的有３种；……；４９为被加数的有４９种；５０为被加数的有５０种；但５１为被加数的只有４９种；５２为被加数的只有４８种；……；９９为被加数的只有１种，故不同的区法有：（１＋２＋……５０）＋（４９＋４８＋……＋１）＝２５００种。 （九）元素可重复的排列求幂法。 解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看成“客”，能重复的元素看成“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。 例10：７名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是　　　　　　　　种。 解：应同一学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将７名学生看成７家“店”，五项冠军看成５名“客”，每个客有７种住宿方法，由分步计数原理得Ｎ＝75种。 （十）特征分析法 有约束条件的排数问题，必须紧扣题中所提供的数字和结构特征，进行推理，分析求解。 例11：由１、２、３、４、５、６六个数可组成多少个无重复且是６的倍数的五位数？ 解：分析数字的特征：６的倍数的数既是２的倍数，又是３的倍数。其中３的倍数又满足“各个数位上的数字之和是３的倍数”的特征。而且１＋２＋……＋６＝２１是３的倍数，从６