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第五章 测量误差及测量平差 §5.1 测量误差概述 §5.2 衡量测量精度的指标 §5.3 误差传播定律 §5.4 等精度观测的直接平差 §5.1 测量误差概述 一、误差的现象及定义 二、误差来源 三、误差的分类 真误差：观测值与客观真实值之差。 公式： 目的: 找出误差产生的原因，制定减弱误差的措施，保证测量成果达到必需的精度。 二、测量误差来源 （1）仪器的原因 原因：固定的精确度、仪器构造不完善 （2）人的原因 原因：感觉器官的局限性；技术水平、工作态度 （3）外界环境的影响 原因：温度、气压等的变化 通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境统称为观测条件。 等精度观测 观测条件相同的各次观测。 不等精度观测 观测条件不同的各次观测。 三、测量误差的分类 水准仪：视准轴不平行于水准管轴（i角） 观测者的技术水平，外界环境的影响 偶然误差的特性 有界性 密集性 对称性 抵偿性：即 就单个值而言，偶然误差在观测前不能预知其大小和符号。 但就大量偶然误差总体来看，具有一定的统计规律。随着观测次数的增多，统计规律越明显。 偶然误差不能消除，只能通过改善观测条件加以控制。 频率直方图 密度函数法 密度函数法 正态分布曲线的数学方程式： 式中σ 0，表示与观测条件有关的参数。 观测质量的好坏用误差分布的密集和离散程度来表示。 三、测量误差的分类 在观测结果中，有时会出现错误（读错、记错或测错等），统称为粗差。 杜绝办法：认真仔细作业，采取必要的检核措施 对距离进行往、返测量，对角度重复观测 对几何图形进行必要的多余观测，用一定的几何条件来检核 §3.2 衡量精度的标准 精度：在相同的观测条件下，对一个量进行一组观测，各观测值之间的密集和离散程度。 一、中误差 设对某一未知量x进行了n次等精度的观测，其观测值为l1、l2、……、ln，相应的真误差为Δ1、Δ2、…Δn，则定义该组观测值的方差D为： 由于D＝σ2，所以 σ称为中误差，在数理统计中称为标准偏差。 当n为有限时，σ的估值为 在测量中常用m来代替中误差的估值，即 设有不同精度的两组观测值 结论：说明中误差值越小，观测精度越高。 用中误差作为衡量精度的指标，代表了观测值的密集和离散程度。 相同观测条件下进行的一组观测，对应的是同一种误差分布，即一组观测值中的每一个观测值都具有相同的精度。 中误差不等于每个观测值的真误差，而是一组真误差的代表值，代表了一组测量结果中任一观测值的精度，通常把m称为观测值中误差或一次观测中误差。 二、极限误差 根据偶然误差的第一个特性，在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，该限值称为极限误差（限差、允许误差）。 极限误差是偶然误差限制值，用作观测成果取舍的标准。 理论和实验研究表明，大于两倍中误差的偶然误差个数约占总数的4.5%，大于三倍中误差的偶然误差个数约占总数的0.3%。 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即 Δ容=2m 或Δ容=3m 极限误差的作用：区别误差和错误的界限。 中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精度。 三、相对误差 §5.3 误差传播定律 直接观测的量，经过多次观测后，可通过真误差或改正数（5.4节内容讲述）计算出观测值中误差，作为衡量观测值精度的标准。 一、线性函数 1. 倍数函数 设有函数Z=kx，x为直接观测值，中误差为mx，k为常数，Z为观测值x的函数。如果对x作n次等精度观测，真误差分别为?x1、 ?x2、…. ?xn，对应的函数真误差为?Z1、 ?Z2、…. ?Zn，观测值与函数间的真误差存在如下关系： 将上述关系式平方、求和、除以n得： 2. 和差函数 设有函数Z= x ? y，x、y是两个相互独立的观测值，均作n次观测，中误差分别为mx和 my，真误差关系式为 由于x、y是相互独立的，偶然误差?x、 ?y出现正负符号的机会相等，且正负符号互不相关，乘积?x ?y也具有正负机会相同的性质。根据偶然误差的第三、第四特性，当n趋于无穷大时，第三项趋于零。即 所以 推广到n个独立观测值代数和差： 3. 一般线性函数 因此，应把 z 化成独立观测值的函数，即 z=x+3x=4x 上式中 x与 3x两项是由同一个观测值X 组成的，必须先并项为z = 4x,