直线方程的形式.doc

中学教育研发网（HYPERLINK ） 博学而笃志　切问而近思 PAGE 北京海淀区新街口外大街19号京师大厦 共 NUMPAGES 5页 第 PAGE 5页 邮箱：3004886@ 　直线方程的形式 　已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上截距为－4，求直线l的点斜式方程以及截距式方程、斜截式方程和一般式方程． 【思路分析】　由已知可写出直线的斜截式方程，再通过变形可写出直线的截距式方程、斜截式方程和一般式方程． 【解】　由已知得k＝tan 60°＝eq \r(3)，所以直线l的斜截式方程为y＝eq \r(3)x－4； 点斜式方程为y＋4＝eq \r(3)(x－0)； 截距式方程为eq \f(x,\f(4\r(3),3))＋eq \f(y,－4)＝1； 一般式方程为eq \r(3)x－y－4＝0. 1．根据下列条件，写出直线的方程，并化为一般式． (1)斜率是2，经过点A(8，－2)； (2)斜率为－4，在y轴上的截距为－2； (3)经过点A(0,8)，B(4，－2)； (4)在x轴，y轴上的截距分别是4，－4. 【解】　(1)由点斜式得y－(－2)＝2(x－8)， ∴直线方程一般式：2x－y－18＝0. (2)由斜截式得y＝－4x－2， ∴直线方程一般式：4x＋y＋2＝0. (3)由两点式得eq \f(y－8,－2－8)＝eq \f(x－0,4－0)， ∴直线方程一般式：5x＋2y－16＝0. (4)由截距式得eq \f(x,4)＋eq \f(y,－4)＝1， ∴直线方程一般式：x－y－4＝0. 　一般方程的运用 　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)若直线不经过第二象限，求a的取值范围． 【思路分析】　本题主要考查直线方程的应用，关键是如何对参数a分类讨论，并理解a的几何意义，可针对a的几何意义是直线的斜率，对a分类或直接运用直线系理论，结合图形解决问题． 【解】　证法一　将直线方程变形为y＝ax＋eq \f(3－a,5)， 当a0时，不论a取何值，直线经过第一象限； 当a＝0时，y＝eq \f(3,5)，直线显然过第一象限； 当a0时，eq \f(3－a,5)0，则直线过第一象限． 综上，直线5ax－5y－a＋3＝0过第一象限． 证法二　直线方程变形为y－eq \f(3,5)＝a(x－eq \f(1,5))， 它表示经过点A(eq \f(1,5)，eq \f(3,5))，斜率为a的直线． ∵点A(eq \f(1,5)，eq \f(3,5))在第一象限． ∴直线5ax-5y-a+3=0必过第一象限． (2)如图，直线OA的斜率k=3. ∵直线不过第二象限， ∴k≥3，即a≥3. 2．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【解】　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等． 则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0， ∴a＝2，方程即3x＋y＝0； 若a≠2，由于截距存在，∴eq \f(a－2,a＋1)＝a－2， 即a＋1＝1，∴a＝0，方程即x＋y＋2＝0. ∴l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2， ∴欲使l不经过第二象限，当且仅当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－(a＋1)0,a－2≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－(a＋1)＝0,a－2≤0))，∴a≤－1. 综上可知a的取值范围是a≤－1. 　定点问题 　求证：m不论取什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5总通过某一定点． 【思路分析】　m为任意实数，方程其实是对m而言的恒等式．根据恒等条件，由m的一次项系数与常数项均等于零，就可得出通过的定点坐标． 【解】　解法一　取m＝1，直线方程为y＝－4； 取m＝eq \f(1,2)，直线方程为x＝9，很显然两直线交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左端得(m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)×9－(2m－1)×4＝m－5＝右端，所以不论m取什么实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上． 解法二　把原方程整理得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，此式对于m为任意实数都成立的等价条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0,x＋y－5＝0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝9,y＝－4)). ∴m不论取什么实数，直线均过定点(9，