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第15、16课时 数列复习课(2课时) 一、 二、数列知识回顾 （一）数列的概念 数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。 数列的通项公式。 求数列通项公式的一个重要方法： 对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是 （二）等差数列和等比数列 1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 等差数列 等比数列 定义 通项公式 =+（n-1）d=+（n-k）d=+-d 求和公式 中项公式 A= 推广：2= 。 推广： 性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则。 2 若成A.P（其中）则也为A.P。 若成等比数列 （其中），则成等比数列。 3 成等差数列。 成等比数列。 4 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。 (2)通项公式法。 (3)中项公式法:验证都成立。 3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题： (1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值。 (2)当0,d0时，满足的项数m使得取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法。 5.常用结论 1）: 1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 【精典范例】 一 函数方程思想在研究数列问题中的运用 函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中学数学的始终，数列作为特殊的函数，与函数有着千丝万缕的联系： 数列的通项公式及前n项和公式都是关于n的函数，当d≠0时，等差数列的通项是关于n的一次函数，前n项和是关于n的一元二次函数；等比数列的通项公式及前n项和公式都与指数函数有关。 在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函数与方程之间的辩证思维便形成了函数方程思想。 因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。 例1（1）首项为正数的等差数列｛a｝，其中S=S，问此数列前几项和最大？ （2）等差数列｛a｝中，S=100，S=300，求 S。 （3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。 分析 （1）等差数列前n项和S=n+(a－)n(d≠0)是关于n的二次函数且常数项为0，故可设S=An+B,运用配方法求最值； （2）由S=An+B及S=100，S=300，求出A、B后再求S。 （3）求S的关键，在于求a,由a=dn+(a－d)(d≠0)知，它是关于n的一次函数，故可设a= An+B，由条件列出方程组求A、B。 【解】（1）设S= An+B（A≠0）， ∵S=S， ∴9A+3B=121A+11B，即14A+B=0。 又∵S= An+B=A（n+）－, ∴当n=－=7时，S有最大值S。 另解由S=S，得a+a+a+a+a+a+a+a=0, 又∵a+ a= a+ a= a+ a= a+a, ∴4(a+a)=0, a+a=0. 由于a＞0,据题意知a=－a＞0，a＜0 因此，前7项和最大。 （2）设S=An+Bn(A≠0) ∵S=100，S=300, ∴ ∴S=900×+30×5=600。 另解 ∵S=100，S=300，又S，S－S，S－S成等差数列。 ∴S－S=2（S－S）－S ∴S=600 （3）设a=An+B(A≠0) ∵a=15,a=a·a, ∴ ∴ a=2n－1 ∴S=(2×1－1)+(2×2－1)+…+（2×n－1） =2×(1+2+…+n)－n =n(n+1)－n=n. 评析 从函数角度考察等差数列中的通项公式，前n项和公式，从而把数列问题转化为函数解决，体现了函数的思想和方法的应用。 二 求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等，看来，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。 观察法 观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。 例2写出下面各数列的一个通项公式 （1），…；