看完质量守恒的微分连续方程式后.doc

6.3 看完質量守恆的微分連續方程式後，接著要看的是線動量守恆的微分線動量方程式。我們也是從雷諾輸送定理開始，將它應用到一個無限小控制體積上。有關系統受力及線動量的守恆，用白話來說是這樣子的，系統所受的外力等於控制體積內線動量的增加率，加上自控制表面流出去的線動量率，再減去自控制表面流進來的線動量率。但是比較簡單的是直接引用實質導數的定義來看， 一般而言，一個微分量流體元素(系統)所受的外力有兩類，一個是作用於控制體積表面的表面力(surface forces)，一個是分布於流體元素整體的體積力(body forces)。 我們考慮來自流體元素的重量所形成的體積力，是一個有三個方向分量的向量， 而在一個面上的表面力含有三個分量，垂直力以及兩個切力，用單位面積上的力(應力)來表示如圖上。在指向正座標方向(如+x)的面上，垂直應力也指向正座標方向(+x)時為正，指向負座標方向(-x)時為負。在指向負座標方向(如-x)的面上，垂直應力也指向負座標方向(-x)時為正，指向正座標方向(+x)時為負。因此，拉張的垂直應力為正，壓縮者為負。 在指向正座標方向(如+x)的面上，切應力也指向正的座標方向(+y或+z)時為正，若指向負的座標方向(-y或-z)時為負。在指向負座標方向(如-x)的面上，切應力如也指向負的座標方向(-x)時為正，若指向正的座標方向(+x)時便為負。 ?xx是指在垂直x軸的面上，x方向的垂直應力，?xy是指在垂直x軸的面上，y方向的切應力。其他亦同。 我們計總一流體元素的x方向的運動， 而，（下圖中未畫出垂直z面上，而作用於x方向的切應力） 代回去，同樣取極限，便可以得到x方向的線動量方程式， y方向， z方向， 6.4 此節要簡化上面的動量方程式，假設無粘滯性流動，或是沒有摩擦力的損耗。第二章我們曾證明沒有切應力下，流體內一個點的壓力各方向都相同， 負號表示正壓力是具壓縮的特性。 我們得到如下的流體運動歐拉方程式， 等三個式子。若用向量表示， 雖然簡化了，但是非線性的微分方程式仍然沒有一般性解法。不過，我們還是可以討論一下該方程式與伯努利方程式的關係。 穩定條件下，歐拉方程式成為， 取z軸朝上，重力加速度便是在負z方向，gz = -g為負。 改寫， 所以， 每一項再跟沿流線的微分長度做點乘積，可得， 這是因為， 所以，沿著流線積分後，再加上不可壓縮的條件時， 常數 需要滿足的四個條件，無粘滯性、穩定流動、不可壓縮、沿著流線。 前面定義無旋流動的流場是滿足，例如均勻流動u = U(常數)，v = 0，w = 0，發生在無邊界干擾（或離邊界較遠，或是管內流動的發展區）的流動中。而在接近邊界的邊界層裡（或是管內已完全發展區），流動不是無旋的。 在無旋流動中，不必沿著流線積分，只要求，就可以得到伯努利方程式。 因為無旋流動的速度空間導數特性，我們可以定義一速度勢(velocity potential) ?，是一個純量，滿足無旋的條件， ，以及，以及 也就是說，在無旋流動中，速度可以表示成某純量函數?的梯度。 速度勢的存在是因為流場的無旋性，而流線函數則是質量守恆的結果。速度勢在三維空間中可以定義，而流線函數只存在於二維流動中。 由於不可壓縮流動裡，。再加上無旋的條件時，我們得到拉普拉斯方程式，普遍存在於許多工程與物理領域之中， 所以，無粘滯性、不可壓縮、無旋流動的流場要滿足拉普拉斯方程式，這種流動稱為勢流(potential flows)。加上通常會給定的邊界條件(例如速度)，於是假如解出了速度勢函數，我們便能求得流場內每一點的速度，每一點的壓力也就能由伯努利方程式來決定。 圓柱座標系統下，