矩阵是代数研究的主要对象和工具.doc

第二章 矩阵 矩阵是代数研究的主要对象和工具，它在数学的其它分支以及自然科学、现代经济学、管理学和工程技术领域等方面具有广泛的应用. 在本课程中，矩阵是研究线性变换、向量的线性相关性及线性方程组求解等的有力且不可替代的工具, 在线性代数中具有重要地位. 第一节 矩阵的概念 内容分布图示 ★ 引例1 ★ 引例2 ★ 引例3 ★ 矩阵的定义 ★ 两矩阵相等的概念 ★ 几种特殊矩阵 ★ 线性变换的概念 ★ 例 ★ 内容小结 ★ 习题2-1 返回 内容要点： 一、引例. 引例1 线性方程组与数表的关系 引例2 航空公司航班图与数表的关系 引例3 某企业季度、产品、产值与数表的关系 二、矩阵的概念 定义1 由个数排成的行列的数表 称为行列矩阵, 简称矩阵. 为表示它是一个整体, 总是加一个括弧, 并用大写黑体字母表示它, 记为 这个数称为矩阵的元素, 称为矩阵的第行第列元素. 一个矩阵也可简记为 . 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵, 本书中的矩阵都指实矩阵(除非有特殊说明). 所有元素均为零的矩阵称为零矩阵, 记为O. 所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩阵. 若矩阵的行数与列数都等于n，则称为阶方阵, 记为. 如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，则称这两个矩阵为同型矩阵. 定义 如果矩阵同型矩阵, 且对应元素均相等, 则称矩阵与矩阵相等，记为. 三、几种特殊矩阵 只有一行的矩阵 称为行矩阵或行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 只有一列的矩阵 称为列矩阵或列向量. 阶方阵 称为阶对角矩阵,对角矩阵也记为 . 阶方阵 称为阶单位矩阵, 阶单位矩阵也记为 （或 ） 当一个阶对角矩阵的对角元素全部相等且等于某一数时，称为阶数量矩阵, 即 . 四、线性变换的概念 变量与变量之间的关系式： 称为从变量到变量的线性变换. 其中为常数. 线性变换(2)的系数构成矩阵，称其为线性变换(1)的系数矩阵. 易见线性变换与其系数矩阵之间存在一一对应关系. 因而可利用矩阵来研究线性变换，亦可利用线性变换来研究矩阵. 线性变换 称为恒等变换，其系数矩阵就是单位矩阵. 例题选讲： 例 矩阵所对应的线性变换 可看作是平面上把向量变为向量的变换(或看作把点P变为点的变换, 参看图2-1-1),由于向量是向量在轴上的投影向量(即点是点在轴上的投影), 因此这是一个投影变换. 又如矩阵对应的线性变换 把平面上的向量变为向量设的长度为, 辐角为, 即设 那么 表明的长度也为而辐角为. 因此, 这是把向量 (依逆时针方向)旋转角(即把点以原点为中心逆时针旋转角)的旋转变换(参看图2-1-2).