数学代数排列组合习题集.doc

1．排列及计算公式 　　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. 　　p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 　　2．组合及计算公式 　　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 　　c(n,m) 表示. 　　c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 　　3．其他排列与组合公式 　　从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. 　　n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 　　n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).两个基本计数原理及应用 　　(1)加法原理和分类计数法 　　1．加法原理 　　2．加法原理的集合形式 　　3．分类的要求 　　每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 　　(2)乘法原理和分步计数法 　　1．乘法原理 　　2．合理分步的要求 　　任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 　　如果你还有点疑惑！我就讲点例题（很经典的） 　　[例题分析]排列组合思维方法选讲 　　1．首先明确任务的意义 　　例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 　　分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 　　设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 　　又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 　　例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 　　分析：对实际背景的分析可以逐层深入 　　（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 　　（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。 　　（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。 　　从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数， 　　∴ 本题答案为：=56。 　　2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合 　　例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。 　　分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。 　　第一类：A在第一垄，B有3种选择； 　　第二类：A在第二垄，B有2种选择； 　　第三类：A在第三垄，B有一种选择， 　　同理A、B位置互换 ，共12种。 　　例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。 　　(A)240 (B)180 (C)120 (D)60 　　分析：显然本题应分步解决。 　　（一）从6双中选出一双同色的手套，有种6方法； 　　（二）从剩下的十只手套中任选一只，有种10方法。 　　（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种8方法； 　　（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。 　　例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。 　　分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90种。 　　例6．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出