数学分析教案2.1.docVIP

第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） ，，，……，，…… 或简记作数列： 分析：1°、随n增大而减小，且无限接近于常数0； 2°数轴上描点，将其形象表示： 将其一般化，即引出“数列极限”概念 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列，若存在某常数a，当n无限增大时，an能无限接近常数a，则称该数为收敛数列，a为它的极限。 例如：， a=0； ， a=3; ， a不存在，数列不收敛； ， a不存在，数列不收敛； 2°将“n无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N，当n＞N时” 将“an无限接近a”，数学“符号化”为：任给ε＞0＜ε 例如对以3为极限，对ε=，要使 = 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设是一个数列，a是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N，使得当n＞N时，都有 ＜ε 则称数列收敛于a，a为它的极限。记作 ｛(或an→a,(n→)) 说明 （1）若数列没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法： 这是用极限定义证明的具体方法 ＞0，N，当n＞N，有＜ε （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意的，但在求N时，又可视为是给定的，由“任意性”可知，不等式＜ε，可用＜2ε，＜ε2……来代替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？） 思考 双重性 （4）上述定义中N的双重性：N是仅依赖于ε的自然数，有时记作N=N（ε）（这并非说明N是ε的函数， （为什么？）思考 是即：N是对应确定的！但N又不是唯一的，只要存在一个N，就会存在无穷多个N （为什么？） 思考 （5）如何用肯定的语气叙述： ＞0，N，n。尽管n。＞N，但≥ε。这是用极限定义证明的具体方法 （6）如何用肯定的语气叙述，数列发散： ，＞0，N，no,尽管no＞N，但≥εo。 （7）的几何意义： 即a的任给ε邻城，都存在一个足够大的确定的自然数N，使数列 中,所有下标大于N的an,都落在a的ε邻城内。 .三、用极限定义证明 的例题 例1.证明（K为正实数） 证：由于 所以ε＞0，取N=,当n＞N时,便有 注：或写作：ε＞0，取N=，当n＞N时，有 ，∴ 例2. 证明 分析，要使（为简化，限定n 只要n 证.,当n,有 由定义 适当予先限定n＞n。是允许的！但最后取N时要保证n＞n。 例3．证明=0，这里＜1 证.若q=0,结果显然成立 若0＜＜1，令=＞0) 由于≤＜ 所以，＞0，取N=＞N，有＜ 注：1°特别地写当q=时，此即为上述实例中的 ２°贝努利不等式（１＋h）n≥1+nh. 3°由例2、例3看出，在由＜ε中求N时，适当的 “放大”不等式，可以简化运算。而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总结。如：用已知不等式，用限定“n＞n。”等方法。 例4．证明，其中a＞1 证.令-1=，则＞0 由贝努利不等式 =（1+）n≥1+n=1+n（）或≤ ＞0，取N=，当n＞N有＜ε 思考：这里取N=也可以，为什么？ 四、等价定义与无穷小数列 定义 任给＞0，若在U（a;）之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限a。 由定义 可知，若存在某0＞0，使得数列中有无穷多个项落在U(a；0)之外，则一定不以a为极限。 例5 证明和都是发散数列。 分析 利用定义 证 例6 设，作数列﹛zn﹜如下： ﹛zn﹜：x1，y1，x2，y2，…，xn，yn，…。 证明 。 分析 利用定义 证 例7 设为给定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列与同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。 分析 利用定义 证 设为收敛数列，且=a。按定义，……。 现设发散，倘若收敛，则因可看成是对增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，收敛，矛盾。所以当发散时也发散。 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义2