第五章连续系统的S域分析.ppt

第五章 连续系统的S域分析 5.1拉普拉斯变换 一、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-σt(σ为实常数）乘信号f(t) ，适当选取σ的值，使乘积信号f(t) e-σt当t→∞时信号幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-σt的傅里叶变换存在。 Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 解： 解： 解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s) 解 结论： 1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即： 三、单边拉氏变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为 四、常见函数的拉普拉斯变换 1、δ(t) ←→1，Re(S) -∞ 2、ε(t)或1 ←→1/s , Re(S) 0 3、 ?’(t) ←→1， Re(S) -∞ 4、 tε(t) ←→1/s2 , Re(S) 0 解： 8、时域积分特性（积分定理） 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]σ0, 则 5.3 拉普拉斯逆变换 通常的方法: （1）查表法 （2）利用性质（3） 部分分式展开-----结合 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为 由于L-1[1]=δ(t)， L -1[sn]=δ(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法 若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为 特例：F(s)包含共轭复根时(p1,2 = –α±jβ) f1(t)= 2e-αt[Acos(βt) –Bsin(βt)]ε(t) 求其逆变换 解： 长除法　F (s) f1(t)= 2e-αt[Acos(βt) –Bsin(βt)]ε(t) 解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2= –1， s3,4= ±j1 ，s5,6= – 1±j1，故 （2）F(s)有重极点（重根） 若A(s) = 0在s = p1处有r重根， 5.4 复频域分析 复习：拉普拉斯变换的时域微分特性 一、微分方程的变换解 描述n阶系统的微分方程的一般形式为 例1 描述某LTI系统的微分方程为 y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t) 已知初始状态y(0-)=1，y’(0-)=-1，激励f(t)=5costε(t)， 求系统的全响应y(t) 五、拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系 例 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t ε(t) + e-2t ε(t) 单边拉普拉斯变换和傅立叶变换的定义 这时有： 分析：因为?0＝0，所以在虚轴上有极点，即F(s)的分母多项式A(s)=0必有虚根。 设A(s)=0有N个虚根（单根）j?1, j?2,… j?n,将F(s)展开成部分分式，并把它分成两部分，极点在左半平面的部分令为Fa(s)。则有 因为 第5章小结 5.1 拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯逆变换 5.4 复频域分析（系统函数） 例4： 求象函数F(s)的原函数f(t)。 举例: 则 系统的初始状态为y(0-) ,y’(0-),…，y(n-1) (0-)。取拉普拉斯变换 解： 取拉氏变换得 解 Re[s]?0 分析因果信号两种变换的关系 设Re[s]?0 (1) ?00; 收敛域在虚轴右边，在s=j?处不收敛，傅立叶变换不存在 (1) ?00; 收敛域包含虚轴，在s=j?处收敛，傅立叶变换存在。 例如： 其傅立叶变换为 (1) ?0＝0; 在虚轴上不收敛。 如令L-1[Fa(s)]=fa(t),则上式的拉普拉斯变换为 所以，f(t)中第二项的傅立叶变换为 即 * 5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型 相应的傅里叶逆变换为 二、收敛域 只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。 使f(t)拉氏变换存在的σ取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。 例1 因果信号f1(t)= eαt ε(t) ，求其拉普拉斯变换。 可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=σα时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。 例2 反因果信号f2(t)= eβtε(-t) ，求其拉普拉斯变换。 可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=σβ时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。 例3 双边信号求其拉普拉斯变换。 求其拉普拉斯变换。