数学模型第二章2.docVIP

第二章 建模方法示例 §2.6 相识问题 2.6.1问题 在6人的集会上，假定认识都是相互的，试证明总能找到3人互相都认识，或3人都互不认识. 2.6.2建模及论证 本问题可用图的染色法来解决.用6个顶点u1至u6表示6个人，用红色连线表示两者相识，用蓝色连线表示两者不相识.于是这6个人的关系就对应一张完全图(图中任两个顶点之间都有一条边). 本问题就化为要证明完全图中必存在一个同色三角形即可. 参看图2.6.1从u1点引出的5条线必有三条同色，不妨设u1u2, u1u3, u1u4同为红色，则观察Δu2u3u4, 若其三边都是蓝色，则该三角形即为所求，否则若有一边，比如u2u3是红色，则Δu2u3u1为所求. 2.6.3 进一步讨论 假设以下讨论的图的边都是染了红色或者蓝色的. 记号： Kn-------n阶双色完全图； RKn-------n阶红色完全图； BKn-------n阶蓝色完全图； d(u)------点u的度(与u关联的边数)； R(u)------点u的红边度； B(u)------点u的蓝边度. 以上实际上我们证明了定理1 定理1 在双色6阶完全图K6中,必存在子图RK3, 或者BK3. 以下我们再来证明结论： 假设认识都是相互的, 在9人的集会上, 总能找到3人相互认识, 或者能找到4人互不认识. 这等价与定理2 定理2在双色9阶完全图K9中,必存在子图RK3, 或者BK4. 证明: 用9个顶点表示9人,红色边表示两人相互认识, 蓝色边表示两人互不认识问,则原问题转化为要证明在一个9阶双色完全图K9上, 或者能找到1个红色三角形(记为RK3),或者能找到1个蓝色4阶完全图(记为BK4). 设在K9中与点u关联的红边最多,该数记为R(u). 情形1. 若,则取4条过点u的红边,设它们的另一端分别为,观测这4点及边所对应的4阶完全图K4, 若,则得证,如图1所示. 否则, K4必有1红边,比如是,则三角形构成RK3, 如图2所示. 其它情况可类似说明存在RK3. 情形2. 若, 由于，故，又由于与点u关联的红边最多，故与点u关联的蓝边最少，从而K9中任一点v都有. 至少有一点，即不会9个顶点都是，这是因为必是偶数(其中，表示K9的蓝边数，vi（i=1,2,…,9）为K9的顶点). 取与v0关联的6条蓝边，对另一端的顶点构成的K6，由定理1知，或者存在RK3（此时定理得证）或者存在，不妨设构成，则v0，v1，v2，v3构成，如图3所示. 定理得证. §2.7 观看塑像的最佳位置 2.7.1 问题描述 如图表2.7.1,大型的塑像通常都有一个比人还高的底座,看起来雄伟壮观.但当观看者与塑像的水平距离不同时,观看像身的视角就不一样.那么,在离塑像的水平距离为多远时, 观看像身的视角最大? 2.7.2假设 如图表2.7.2, 设 a=OS=MT-------人眼高； b=AB-------塑像身高； c=AT-------底座高,ca； d=AM=c-a; x=ST=OM-------人与塑像水平距离; α=∠MOA; β=∠MOB; θ=∠AOB=β-α------观看像身的视角. 2.7.3建模与求解 ∵tanα=AM/OM=d/x, tanβ=BM/OM=(b+d)/x ∴ 令，解出唯一驻点,此数恰是AM与BM的几何平均 根据经验，此问题θ必有最大值，且 例 上海外滩海关大钟直径为5.5米, 钟底到地面高为56.75米.设某观看者眼高为1.55米,则b=5.5,d=56.75-1.55=55.2,最佳位置是x=57.88米,maxθ=2o43’. 2.7.4相关问题 设有甲乙两观看者,甲高乙矮,则两者的最佳位置不同,谁前谁后? 谁的最佳视角更大? 设甲和乙的眼高、最佳位置、最佳视角分别为a1、 a2, x1、x2,θ1、θ2. ∵a1a2 ∴ 即为了获得最佳视角，甲应比乙站前一点. 在最佳位置时，, 因为都是严格单调增函数，所以若令并能证明它是严格单调增函数，则θ(a)也是严格单调增函数.事实上，，∴θ1θ2 , 甲的最佳视角要比乙更大. §2.8 Fibonacci数列 2.8.1问题描述 1228年,意大利的数学家Fibonacci(1170-1250)提出了一个有趣的问题： 如果最初有一对刚出生的小兔，一个月后就成熟，成熟后每月生一次且恰好生一对（一雌一雄），且所生的小兔都能成活，而且按同样方法繁殖，则一年后共有多少对兔? 2.8.2建模 设每月按第1天计算，第n月共有兔子Fn对.可画图2.8.1推算. 用符号 与 分别表示未成熟与已成熟的兔子,每对未成熟的兔子( )下月变成成熟的兔子( ). 每对成熟的兔子( )下月变成两对兔子( ).