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对于容斥问题,我们都不会很陌生,容斥问题的基础原型就是高中学过的集合问题,容斥原理问题分为两大类,一类是两集合容斥原理,第二类是三集合容斥原理,对于两集合容斥原理问题,一般题型利用公式就可以解决,而对于三集合容斥原理,可采用三集合容斥原理的标准型公式与变式,也可以画出图示,进行解题。
两集合容斥原理的公式:满足条件1+满足条件2-两条件都满足=总数-都不满足
三集合容斥原理标准的公式:满足条件1+满足条件2+满足条件3-满足条件1、2-满足条件2、3-满足条件1、3+三个条件都满足=总数-都不满足
三集合容斥原理的变式:满足条件1+满足条件2+满足条件3-1×仅满足条件两个条件-2×三个条件都满足=总数-都不满足
下面通过几个例题了解容斥原理
【例1】某班有60人,参加物理竞赛的有30人,参加数学竞赛的有32人,两科都没有参加的有20人。同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人?
A.28人 B.26人 C.24人 D.22人
【答案】D
【解析】二集合标准公式,参加物理竞赛30人,数学竞赛32人,都未参加20人,总人数60人,参加数学+参加物理-都参加的人数=总人数-都未参加,30+32-X=60-20,X=22。因此,本题答案为D选项。
【例2】某委员会有成员465人,对2个提案进行表决,要求必须对2个提案分别提出赞成或反对意见。其中赞成第一个提案的有364人,赞成第二个提案的有392人,两个提案都反对的有17人。问赞成第一个提案且反对第二个提案的有几人?
A.56人 B.67人 C.83人 D.84人
【答案】A
【解析】根据二集合容斥原理公式,可列式为:364+392-两者都赞同的人数=465-17=448,解得两者都赞同的人数为364+392-448=308,则赞成第一个提案且反对第二个提案的人数共有364-308=56人,故正确答案为A。
2015年国考又出现了容斥原理问题,而且出现了两个题。
【例3】网管员小刘负责甲、乙、丙三个机房的巡检工作,甲、乙和丙机房分别需要每隔2天、4天和7天巡检一次。3月1日,小刘巡检了3个机房,问他在整个3月有几天不用做机房的巡检工作?
A.12 B.13 C.14 D.15
【答案】C
【解析】方法一:根据三集合容斥原理的标准公式:需要工作的天数为11+7+4-3-2-1+1=17天,故休息的天数为14天。
【例4】某企业调查用户从网络获取信息的习惯,问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用有哪些信誉好的足球投注网站引擎获取信息,146人从官方网站获取信息,246人从社交网络获取信息,同时使用这三种方式的有115人,使用其中两种的有24人,另有52人这三种方式都不使用,问这次调查共发出了多少份问卷?( )
A.310 B. 36 C.390 D. 410
【答案】D
【解析】根据三集合容斥原理的变式,179+146+246-24-2×115=总人数-52,解得总人数为369,故问卷数量为369÷90%=410。因此,本题答案为D选项。
对于容斥原理问题,我们一定要掌握容斥原理的基本公式极其变式,如果对于容斥原理的公式不是很了解,可以画图解决,画图可以解决这类的问题。
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