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科目代码401
科目代码：401 请在答题纸（本）上做题，在此试卷及草稿纸上做题无效！
山东科技大学2004年招收硕士学位研究生入学考试
高等代数试卷
（共2页）
一、（20分）设、、为三个多项式，并且，
证明：
1、
2、
二、（20分）假设，A为n阶方阵，且
1、证明可逆，并求（其中E为单位矩阵）
2、将矩阵A的第i与j列交换后得到矩阵B，证明B可逆，并求B-1A
三、（25分）当a取何值时下列方程组有唯一解；有无穷多解；无解？当有解时，请求之。
四、（15分）设为n阶非零实方阵，并且其中为元素的代数余子式，
1、证明A可逆。
2、求
五、（20分）设，，
1、求二次型（XT为X的转置）
2、用正交换化二次型f为标准型
3、二次型f是否为正定二次型
第1页
六、（15分）设为线性空间V上的线性变换，，若，但，试证
线性无关。
七、（20分）设，求矩阵A的各阶行列式因子，不变因子及初等因子，写出矩阵A的Jordan标准形。
八、（15分）为n维欧氏空间V上的对称变换，且，证明：
1、若是的特征值，则特征子空间为的不变子空间。
2、至少有一个公共特征微量 。
3、设A，B在在同一组标准正交基下的矩阵，试证：存在正交矩阵Q，使得QTAQ与QTBQ同时为对角形矩阵（QT为Q的转置矩阵）
第2页
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