空间等距离轨迹的探索.doc

空间等距离轨迹的探索 永康二中 陈红晓 2007.2 众所周知，在新教材下，立体几何与平面几何将作为同一模块让学生学习和研究。而几何学是研究现实世界中的物体的形状，大小与位置关系的数学分支，一般采用直观感知，操作确认，思维辨证，度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，是高中阶段对学生的基本的要求。而解析几何是充分体现数形结合的思想，其中有一类是等距离的轨迹问题。纯粹的解析几何中的等距离轨迹似乎不是难题，但是若把它与立体几何相结合，即把这性质的推广到空间，有时的轨迹并非是简单。在近一两年的模拟高考中有不少的出现，若学生能把这类问题弄清楚，相信对他的空间想像也是一种完善，?对综合能力也是一种提高。为此把它进行整理和论证。 在立体几何中，载体虽然有各种各样，但点，线，面依然是我们研究的主要对象（元素），下面就以它们分类讨论(注：等距离是距离相等且非零)。 第一类：到单元素等距离的点的轨迹。 在同一个平面内，到定点等距离的点的轨迹是——一个圆。 在空间，到定点等距离的点的轨迹是——一个球面。 2．在同一个平面内，到定直线等距离的点的轨迹是——两条平行线。 在空间，到定直线等距离的点的轨迹是——一个以此线为轴的圆柱面。 到某一定平面等距离的点的轨迹是——两个平行的平面。 图4 图4 第二类：到两个同元素等距离的点的轨迹。 在同一平面内，到两定点的距离相等的点的轨迹是——以这两点为线段端点的中垂线。 在空间，到两定点的距离相等的点的轨迹是——这两点的中垂面（过这两点的中点且与这线段垂直的平面）。 2．在同一平面内，到两平行线的距离相等的点的轨迹是——这两线的中分线。 在空间，到两平行线的距离相等的点的轨迹是——这两线的中分面（过中分线且与这两线的平面垂直的平面）。 3．在同一平面内，到两相交直线的距离相等的点的轨迹是——这两线所成的角的两条角平分线。 在空间，到两相交直线的距离相等的点的轨迹是——这两角的角平分面（过角平分线且与这两线的平面垂直的平面）。 和两条异面直线等距离的点的轨迹是——两条直线。 理由如下： 设AB为异面直线a，b的公垂线段，O是AB的中点。过O作，则相交直线的两条角平分线就是所求的点的轨迹。因为在角平分线任取一点P，过P作PC，PD分别与垂直相交，过C，D分别作a,b的垂线，垂足为Q，R，则易说明PQ，PR就是点P到直线a,b的距离，且由三角形全等得PQ=PR。 5．和两?个平行平面等距离的点的轨迹是——它们的中分面。 和两?个相交平面等距离的点的轨迹是——它们的两个角平分面。 第三类：到两个不同元素等距离的点的轨迹。 在同一平面内，到定点和定直线距离相等的点的轨迹是： 1）定点在定直线上——过定点且与定直线垂直的一条直线。 2）定点在定直线外——一条抛物线。 在空间，到定点和定直线距离相等的点的轨迹是： 1）定点在定直线上——过定点且与定直线垂直的一个平面。 2）定点在定直线外——平移抛物面。 理由如下，设基本抛物线如虚线（中间那条），在平移抛物面上取一点P，过P作PD垂直于基本抛物线和直线所在的平面，垂足是D，过D作DQ与直线a垂直，连接如图，则易证直角三角形PDQ与直角三角形PDA全等，且PQ与直线a垂直，故PA=PQ。 在空间，到定点和定平面距离相等的点的轨迹是： 1）定点在平面内——过定点且与定平面垂直的一条直线。 2）定点在平面外——旋转抛物面（绕对称轴旋转而成的）。 在空间，到定直线和定平面距离相等的点的轨迹是： 1）直线与平面平行——平移抛物面。 2）直线在平面内——过此线且与平面垂直的平面。 3）直线与平面垂直——以定线为轴的圆锥面，且它的轴截面顶角为90度。 4）直线为平面的斜线——为一个椭圆锥面。 理由如下： 设直线为平面的一条斜线，斜足为O， 在平面内的射影为， 显然，相交直线与所成的角的两条角平分线为轨迹的一部分。在射影上，截取，A，B在O的异侧。以为底面半径作一圆柱，圆柱面交上两角平分 线于点C，D，过C，D作一与垂直的平面，垂足为，此平面与圆柱的截面图为一椭圆，则以O为顶点椭圆CD为底面的椭圆锥曲面上任一点都符合题意。在椭圆上任取一点P，连接，过P作PQ垂直与下底面，Q一定要圆O上，由于OC为的角平分线，且，故与全等，，所以在和中，PO=PO，OQ=，故与全等。从而有，即点P到定直线和平面的距离相等。 这是一个有用的结论，曾有下面的题目。 1．在正四面体ABCD中,点P在三角形ABC内,且P