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竞赛讲座07 --面积问题和面积方法 基础知识 1．面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用． 设△，分别为角的对边，为的高，、分别为△外接圆、内切圆的半径，．则△的面积有如下公式： （1）； （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 2．面积定理 （1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和； （2）两个全等形的面积相等； （3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等； （4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比； （5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方； （6）共边比例定理：若△和△的公共边所在直线与直线交于，则； （7）共角比例定理：在△和△中，若或，则． 3．张角定理：如图，由点出发的三条射线，设，，，则三点共线的充要条件是： ． 例题分析 例1．梯形的对角线相交于，且，，求 例2．在凸五边形中，设，求此五边形的面积． 例3．是△内一点，连结并延长与分别交于，△、△、△的面积分别为40，30，35，求△的面积． 例4．分别是△的边和上的点，且，求△的面积的最大值． 例5．过△内一点引三边的平行线∥，∥，∥，点都在△的边上，表示六边形的面积，表示 的面积．求证：． 例6．在直角△中，是斜边上的高，过△的内心与△的内心的直线分别交边和于和，△和△的面积分别记为和．求证：． 例7．锐角三角形中，角等分线与三角形的外接圆交于一点，点、与此类似，直线与、两角的外角平分线将于一点，点、与此类似．求证： （1）三角形的面积是六边形的面积的二倍； （2）三角形的面积至少是三角形的四倍． 例8．在△中，将其周长三等分，且在边上，求证：． 例9．在锐角△的边边上有两点、，满足，作，（是垂足），延长交△的外接圆于点，证明四边形与△的面积相等． 三．面积的等积变换 等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题． 例10．凸六边形内接于⊙，且，，求此六边形的面积． 例11．已知的三边，现在上取，在延长线上截取，在上截取，求证：． 例12．在内，且∽，求征： 例13．在的三边上分别取点，使，，连相交得三角形，已知三角形的面积为13，求三角形的面积． 例14．为圆内接四边形的边的中点，于，于，于，求证：平分． 例15．已知边长为的，过其内心任作一直线分别交于点，求证：． 例16．正△正△，，，，， ，．求证：． 例17．在正内任取一点，设点关于三边的对称点分别为，则相交于一点． 例18．已知是正六边形的两条对角线，点分别内分，且使，如果三点共线，试求的值． 例19．设在凸四边形中，直线以为直径的圆相切，求证：当且仅当∥时，直线与以为直径的圆相切．