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竞赛辅导讲义：数列 　　数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列中最基本的是等差数列与等比数列，解决数列问题一般是化归为2类特殊数列求解。 所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{an}的第n项an与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。 　　一、 等差数列 　　如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 　　等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：　　　　 (2) 　　从(1)式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。 　　在等差数列{an}中，等差中项：， 　　且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq　　　　Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1　　　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。 　　二、 等比数列 　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 　　等比数列{an}的通项公式是：an=a1·qn-1 　　前n项和公式是：　　　　 　　在等比数列中，等比中项：， 　　且任意两项am，an的关系为an=am·qn-m 　　　　从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： 　　　　a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　若m，n，p，q∈N*，p+q=m+n,则有：ap·aq=am·an，　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数对数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则{Can}是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。 数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。 三、通项与求和 （一）求数列的通项公式： 1、用累差法求通项公式 例1、数列中，已知。 小结：在数列中，已知求通项都可以用累差法。 2、用累乘法求通项公式 例2、①已知数列中，。 ②数列中，已知求数列的通项公式。 小结：当数列递推关系公式是时，用累乘法求其通项。 3、用迭代法求通项公式 例3、已知数列中， 小结：等差数列这样逐步代入，称之为“迭代法”。 4、用转化法求数列的通项 例4、①在数列中，求通项 ②已知数列中， ③如果a1 = 1, a2 = 1, 且an+2 = an+1 + an (n=1,2,…)， 试求这个数列的通项公式。　 （二）求前n项和公式 1、拆项分组求和 例1、求数列12，105，1008，10011，…（10n+3n-1）,…的前项和 例2、求数列7，77，777，…777…7，…的前项和 例3、求数列的前项的和。 2、拆项相消法求和 例4、①求和 ② ③求的和 ④求 ⑤求数列的前项的和。 小结：求数列{}的前项的和，可将通项拆为　　　　　　。 3、用并项法求和 例5、①求数列1，-2，3，-4，…，(-1)n-1，…的前项和 ②求的值。 4、用倒序相加法求和 例6、已知。 5、利用自然数幂和公式 常用的自然数幂和公式： 例7、求和 6、错位相减法求和 例8、①求的和②求 7、其他的一些数列求和问题 例9、数列中，时，其前项和满足 ①求的表达式②设，求