第1讲 计算行列式的若干基本方法.doc

MACROBUTTON MTEditEquationSection2 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT 第1讲 计算行列式的若干基本方法 计算行列式并无固定的方法．其实，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算．因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地酸楚行列式．这一讲，我们将介绍一些常用的方法． 化为已经熟悉的行列式来计算 我们已经知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如 ， 的行列式的结果．如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式，则不难求出所给行列式的值． 为了叙述简便，仍用记号表示互换行列式的第i行（列）与第j行（列）；用表示将行列式第j行（列）的k倍加到第i行（列）；用表示将第i行（列）乘以非零的数c． 例1 计算行列式 ． 解 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算． 计算n阶行列式 ． 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． 计算阶行列式 ． 其中． 解 这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，…，n．即按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是n，又因，若在第i行（1，2，…，n）提出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即 降阶法 当一个行列式的某一行（列）的元素有比较多0时，利用行列式的依行（列）展开定理将它化为较低阶的行列式来计算． 计算n（n≥2）阶行列式 ． 解 按第一行展开，得 ． 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到 ． 拆项法 拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素都写成同样多的和，然后利用性质6将它表成一些比较容易计算的行列式的和． 计算n（n≥2）阶行列式 ． 解 将按第一列拆成两个行列式的和，即 ． 再将上式等号右端的第一个行列式第i列（，3，…，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子，则可得到 当n≥3时，． 当时，． 计算n阶行列式 ，（）． 解 将第一行的元素都表成两项的和，使变成两个行列式的和，即 将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得： ． 这里是一个与有相同结构的阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各行，得： 于是有 （1） 另一方面，如果将的第一行元素用另一方式表成两项之和： 仿上可得： （2） 将（1）式两边乘以，（2）式两边乘以，然后相减以消去，得： ． 加边法 在给定的行列式中添上一行和一列，得加边行列式，建立新的行列式与原行列式的联系，以求得结果． 计算n（n≥2）阶行列式 ， 其中． 解 先将添上一行一列，变成下面的阶行列式： ． 显然，．将的第一行乘以后加到其余各行，得 ． 因，将上面这个行列式第一列加第i（，…，）列的倍，得： 故 ． 递推法 递推法是根据行列式的构造特点，利用行列式的性质，将给定的行列式表成若干个具有相同形状以及一些容易计算的，但阶数较低的行列式之和，然后利用这种关系式计算原行列式的值，最后再用数学归纳法证明所得到的结果正确．这是一种颇常使用的方法，在计算范德蒙行列式时已建立过递推关系式，本讲的例6也利用了递推关系式． 使用递推法计算行列式，一般分三个步骤，首先找出递推关系式，然后算出结果，最后用数学归纳法证明结果正确． 计算n阶行列式 ． 解 首先建立递推关系式．按第一列展开，得： 这里与有相同的结构，但阶数是的行列式． 现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得： 因，故 ． 最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的． 当时，显然成立．设对阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由 可知，对n阶的行列式结果也成立． 根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立． 证明n阶行列式 ． 证明 按第一列展开，得 ． 其中，等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式，记作；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式，记作．这样，就有递推关系式： ． 因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的． 当时，，结论正确． 当时，，结论正确． 设对的情形结论正确，往证时结论也正确． 由 可知，对n阶行列式结果也成立． 根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．