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第21讲微分中值定理
第21讲微分中值定理
一、计划学时:3节
二、内容
三、要求
四、重点
五、难点
六、教学过程:
第七章 导数与定积分的应用
数学大纲:
一、计划学时:18节
二、主要内容:
中值定理、罗比塔法则、泰勒公式、函数性态的讨论(单调性、凹凸性、极值的求法)、函数图形的描绘。 元素法,求面积、体积等
三、目的要求:
1、理解并记忆微分学中值定理。
2、熟练掌握用罗比塔法则求不定式极限的方法。
3、会求函数的极值和最大(小)值。
4、掌握用导数研究函数性态的方法,会用微分法做出较简单函数的图形。
四、课时安排:
§1、中值定理 2课时
§2、罗比塔法则 2课时
§3、泰勒公式 2课时
§4、函数单调性与凹凸性2课时
§5、极值与最大值,最小值问题 2学时
§6、函数图形的描绘弧微分 曲率 2课时
§7、元素法 面积
§8、体积 2课时
§9、物理上的应用 2课时
五、重点、难点、特点的说明:
本章重点:三个中值定理的理解与应用,罗比塔法则,函数的极限及其求法,微分法做图。元素法 面积、体积
本章难点:三个中值定理的理解与应用,泰勒公式,微分法做图。 中值定理是微分学的重要理论。中值公式是联系函数与导数的桥梁,意义深刻应用广泛,要适当突出中值定理在讨论函数中的作用。导数的应用部分,项目较多,要通过介绍函数的微分法做图,将它们系统化。元素法的应用,求面积、体积
教学过程:
上章中我们详细地讨论了导数、微分的概念及它们的运算问题。我们知道导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型,它反映了函数在一点处的局部变化性态。但在理论和实际应用中,常常需要把握函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的关系。从这节课开始我们将介绍导数的一些更深刻的性质——函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的关系。由于这些性质都与自变量区间内部的某个中间值有关,因此被统称为中值定理。
函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的这种关系不仅是用微分学解决实际问题的数学模型,而且还完善了微分自身发展的理论基础,正是这一点的重要性,中值定理又称为微分基本定理。
本章首先介绍微分学的理论基础——中值定理,然后以中值定理为理论基础,以导数为工具,给出一类特殊极限(不定式)的一种简便求法;解决函数近似表达式和近似计算问题;最后进一步应用导数符号分析函数和其曲线变化的各种特征性质。
第一节 中值定理
我们知道导数和微分是讨论小增量?y = f(x???x) - f( x)的有效工具,自然进而要问:这一工具是否也有助于对宏观增量f (b) ??f (a) 的研究?微分中值定理对此做出肯定的回答。
本节里我们介绍三个定理,它们统称为中值定理。
Lagrange中值定理
定理1(Lagrange中值定理) 设函数满足条件
⑴ 在闭区间 [] 上连续; ⑵ 在开区间()内可微,
则至少存在一点),使得
yy=f (x
y
y=f (x)
0 a ? 1 ? 2 b
为了找出证明思路,我们也先从几何上看Lagrange定理
的意义: ①式右端是弦AB的斜率。定理是说,若平面上一条
以、为端点的连续曲线在
内处处有不平行于轴的切线,则在开区间内部必至少有
一点,使得曲线在该点的切线平行于弦,即平行
于两个端点与的连线 (图3-2)
. 图3-2
一句话,平面上以A、B为端点的连续曲线弧处处有不平行于轴的切线时,其线内至少有一点,其切线平行于弦AB。
如果在Lagrange中值定理中增加函数在两端点值相等的条件,则结论正是Rolle中值定理的结论。可见,Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特例,这又是一个先处理特殊后处理一般情形的例子。因而定理2证明的思路就是将Lagrange中值定理转化到Rolle中值定理上去以获得证明,使用Rolle定理的关键是其条件(3)——弦AB∥x轴。 即现在的问题是:如何实现这个转化?即如何将Lagrange中值定理中的斜弦转化为Rolle中值定理中的水平弦? 只需将“曲线高度- 弦的高度”即可满足,因此,关键是求弦的方程:
取点A,由点斜式知,弦AB的方程为: .
现在可以构造一个函数:? (x) = 曲线高度- 弦的高度 = f (x) –Y ,则曲线段 ? (x) 必有水平弦。
另证
由微积分基本公式.
积分中值定理 .
得
Lagrange(1736-1818)是法国18到19世纪的大数学家、天文学家和力学家,17岁时由于读哈雷的天文
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