第2讲 范德蒙德行列式的几点应用.doc

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n阶范德蒙德行列式，当这些两两互异时，．这个事实有助于我们理解不少结果．证明一个n次多项式之多有n个互异根．证 设有个互异的零点，则有，．即这个关于的齐次线性方程组的系数行列式，因此．这个矛盾表明至多有n个互异根．设是n个两两互异的数．证明对任意n个数，存在惟一的次数小于n的多项式：，使得，．证 从定义容易看出的次数小于n，且，故只需证明唯一性即可．设满足，，即这个关于的线性方程组的系数行列式，故是唯一的，必须． 这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．设是个复系数多项式，满足，证明．证 设，取，分别以代入，可得这个关于的齐次线性方程组的系数行列式，因此．设n是奇数，是个复系数多项式，满足，证明．证 注意到当n是奇数时，，可按照例3的思路完成证明．设A是个n阶矩阵，证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关．证 设是A的两两不同的r个特征值，非零向量适合，，假设，那么有，．即，注意到，必须，于是，这证明了线性无关．计算行列式，其中．解 注意到下面的等式：即得．计算行列式，其中．解 直接利用例6可得．设是正整数，证明n阶行列式能被整除．证 直接运用例6、例7可得能被整除．计算n阶范德蒙德行列式，其中．解 注意到当且仅当，可得，由此，的模．现在来确定的幅角：令，，故对于上面考虑的j和k，总有，这意味着，因此，由此可设，其中这样就求得了．证明缺项的n阶范德蒙德行列式证 按的第一行展开行列式，可得设有n个常数，n个两两不同的常数以及由x的恒等式定义的一个多项式．对于一个已知多项式，定义另一个多项式，它为上面的恒等式中将分别代之以所得的x的恒等式所确定．证明用多项式除以所得的余式为．证 由于n阶范德蒙德行列式，按题设这里的行列式的最后一列展开，可知是个次数小于n的多项式．从条件知对每个，，必须，．由拉格朗日插值公式知．同理可求出由恒等式所定义的多项式． 设，其中的次数小于n．为证，只需证明时，即可．事实上，对每个，是易见的，因此结论成立．设在上连续，在内存在2阶导数，证明在上有，这里．特别地，存在，使．证 在上构造函数，则在上连续，在内存在2阶导数．因，由中值定理存在，使，故再运用一次中值定理，存在，使，即，展开行列式即得．特别地，取，则有相应的，使上式成立，即，化简即得．设在内存在阶导数，．证明存在，使．证 在上构造函数，在内存在阶导数．因，反复利用微分中值定理，存在，使，即．按第一行展开行列式得，左边按最后一列展开行列式，化简可得．设在内存在n阶导数，这里．证明存在，使．证 置，，则．于是例14在本质上是例13的特殊情形．