第3章多分辨分析和小波构造.doc

第3章多分辨分析和小波构造 前面讨论了小波分析产生的历史背景、小波变换以及它与傅里叶分析的对比，在那里已经指出，连续小波变换和离散小波变换具有统一的形式，特别是正交小波的引人，使一个小波函数的“伸缩”和“平移”产生的函数族能够构成函数空间的一个标准正交基，这样一来，空间的任何函数都可以展开成正交小波级数，函数和它对应的正交小波级数的系数序列形成一一对应关系，这些系数序列都在序列空间中，于是得到空间和空间的对等关系，从而，在正交小波的极 为简明的代数结构的基础上实现了空间 的“序列化”。这时，自然而然就会问这样一些问题：（1）除第1章已经知道的Haar正交小波外，具有如此良好性质的正交小波是否存在？（2）再者，考虑到实际应用的需要，这样的小波是否足够丰富，除少数典型的正交小波之外，另外的正交小波能否具备某些特殊的分析性质，以满足各种不同的实际问题的特殊需要？（3）还有，如果这样的正交小波确实存在，那么，如何具体把它们构造出来？最后，如果没有有效的构造方法可以同时保持正交性和一些特殊性质，那么，能否在放弃正交性的条件下实现特定小波的简单构造？（4）从小波和小波变换的定义出发，这些问题并没有显而易见的答案。这一章的内容就围绕这些问题以及一些相关问题展开研究。 2.1 Shannon小波 Shannon小波是本书介绍的第二个正交小波，也是仅有的几个可以写出解析表达式的正交小波之一。Shannon小波的构造要比Haar小波复杂一些，但构造的过程具有一般意义，很像多分辨分析，所以，在这里详细介绍。 为了叙述得容易些，直接引用信息论中的Shannon采样定理和Shannon 插值公式。 Shannon定理 到设信号，如果存在 ，使 ， ， 则称是B频率截断的的，这时，只要采样间隔，信号 按间隔进行采样就不会损失信息，而且，利用采样序列可按如下公式构造原信 号 上式Shannon 插值公式。特别地，在Shannon定理中，当时，可得 取函数，那么，对频率截断的信号，总有 利用傅里时变换的Parseval恒等式可以验证 其中 。这说明函数族空间的标准正交系。同时， 容易验证 是空间的闭线性子空间。因此，函数族构成子空间的标准正交基，而空间的任意信号都有唯一的级数表达式。 我们知道，中许多信号其傅里叶变换在时并不为零，甚至于对任何的，当时它都不为零，所以，前述的只是中的极其有限的一部分。虽然这样，利用Shannon采样定理可逐步“逼近”全空间。在这里详细说明一种具体的逼近过程。 根据Shannon采样定理，对于任何整数j，当信号是频率截断时，即 ， 那么 利用傅里叶变换的Parseval恒等式可得 因此，函数族 构成空间 的标准正交基。 这样，随着j取遍所有的整数，就可以得到的一系列子空间，它们之间有如下关系： ①嵌套关系：对任何整数， 因为，对任何信号来说，如果它是 频率截断时，那必定是频率截断的； ②唯一关系：这些子空间中“最小的”是零空间，即 这说明具有任意频率截断的信号只能是零信号； ③稠密关系：这些子空间能很好地“逼近”空间 利用时域和频域的等价性以及中的任何信号的谱都可以用它的有限截断进行有效逼近的事实可以说明这个等式； ④伸缩关系：相邻子空间按时间伸缩重合 利用信号的时间伸缩在傅里叶变换下的特点容易验证这个关系。 这说明，虽然相邻的两个子空间之间有①的包含关系，但它们的信号的自变量即时间之间却具有二倍的伸缩关系。 显然，随着j的不断增大，子空间对空间的逼近越来越“好”，而空间具有前面给出的标准正交基，因此，容易想到的是。让构造空间的标准正交基，从而得到正交小波。遗憾的是，这样得不到的像正交小波所给出的那种标准正交基。 回顾正交小波定义可知，如果正交小波已经得到，即 构成的标准正交基，这时如下的子空间列 j取全部整数，将构成的完全的正交直和分解 不仅如此，而且相邻的两个分解子空间之间除了正交之外，它们的信号的时间变量之间还具有二倍的伸缩关系，即