第4章 矩阵习题.doc

PAGE PAGE 22 第4章　矩阵习题 习题4.1 考虑空间解析几何中平面，，的焦点问题，写出该问题确定的线性方程组以及所对应的系数矩阵，常数项和增广矩阵。 考虑高三学年语文、数学、英语三门课程4次模拟高考成绩，用矩阵方法建立个人成绩档案。 对本节股市中数据表格问题中的矩阵，给出一组调研数据并用矩阵表示出来。 用三种不同面值的硬币分别作4、6、10次投掷实验，用数字1表示正面，表示反面，用矩阵形式把实验记录下来。 习题4.2 对下列矩阵计算： （1） ； （2）。 计算矩阵乘积或方幂： （1） ； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）。 计算矩阵多项式： （1） ； （2）。 证明：矩阵的乘法和加法还适合分配律，即本节（9）、（10）两式成立。 矩阵乘法的消去律不成立，即当时，即使也不一定有。试针对矩阵举出例子。 在下列各题中，求与矩阵可交换的所有矩阵： （1）； （2）； （3）； （4），其中 。 对任意正整数，给出的条件，并加以证明。 证明：如果一个级矩阵与所有级矩阵作乘法都是可以交换的。那么这个矩阵一定是数量矩阵。 证明：任何级矩阵总可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 设是对称矩阵，证明：也对称的充分必要条件是可交换。即 设是实对称矩阵，证明：。 证明：两个上（下）三角的乘积仍然是上（下）三角矩阵。这个性质对于对称（反对称）矩阵成立吗？试对矩阵情形讨论。 习题4.3 计算下列各题中矩阵乘积的行列式： （1）； （2）； （3）。 判定上题中矩阵的退化性。如何仿照推论2来建立上题中（3）情形的判定？ 习题4.4 求下列矩阵的逆矩阵： （1） ； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）； （7） ； （8）。 求下列矩阵方程中： （1） ； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）； （7）。 证明：对于级方阵，如果 那么就都是可逆的并且它们互为逆矩阵。 证明：如果，那么可逆，并且 证明：如果，那么、都可逆。 设为可逆矩阵，证明：对称（反对称）对称（反对称）。对反对称情形，必然为偶数，为什么？ 设为矩阵，证明：的伴随矩阵具有性质 （1） ； （2） 设为可逆矩阵，证明：上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵。 习题4.5 用分块方法计算下列矩阵的乘积： （1）； （2）； （3）。 用分块方法计算下列矩阵的逆矩阵： （1）； （2） ； （3）； （4） ； （5）； （6）。 仿照例2推导（9）。 设分别为级可逆矩阵，证明： 是可逆矩阵，给出其逆矩阵计算公式。 利用上题结果，计算的逆矩阵： （1）；（2）。 习题4.6 1. 按定理6，写出矩阵与初等矩阵乘积的结果： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 2．用行初等变换方法求下列矩阵的逆矩阵： （1）； （2）； （3）； （4）； 3．用行初等变换方法解下列矩阵方程： （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）。 4．仿照定理9，类比求解矩阵方程的列初等变换方法。 5．用列初等变换方法解下列矩阵方程： （1） ； （2）。 6．设为矩阵，，证明：存在级初等矩阵与级初等矩阵使 　　　　　　 　　 　　　　 其中是矩阵的标准形。 习题4.7 1.设分别是和矩阵，计算或证明： 1）； 2）； 3）； 4），其中。 2．设可逆，试证：如果可逆，则存在,并求。 3．设都是矩阵， 可逆并且，证明： 1）； 2）。